이차곡면과 곡면 그리기

등위곡선이 ($xy$평면에서) 원점을 중심으로 하는 원이므로, $z$가 상수일 때 방정식은 어떤 상수 $c$에 대하여 $x^2+y^2=c$ 꼴이다. 즉 방정식은 다음과 같은 꼴이다. $$x^2+y^2=g(z),$$ 여기서 $g(z)$는 $z$에만 의존하는 함수이다.

단면이 매우 대칭적이므로, 이 도형이 $yz$평면의 왼쪽과 만나는 부분도 알 수 있다: $z=3(-y-1)=-3(y+1)$ ($z\ge0$ 일 때)이고 $z=-3(-y-1)=3(y+1)$ ($z<0$ 일 때)이다. 아래는 이 곡면과 $yz$평면이 만나는 부분이다.

$x=0$ 을 대입하면 방정식은 $y^2=g(z)$ 가 된다. $yz$평면의 오른쪽을 보면 다음을 얻는다: $\left.\begin{cases} z=3(y-1) &z\geq 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때}\\ z=-3(y-1) &z< 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때} \end{cases}\right\}$. 즉,

$$\begin{aligned} |z|&=3(y-1)\\ \frac{|z|}{3}+1&=y\\ \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2&=y^2 &(*) \end{aligned}$$

간단한 확인: $(*)$ 에서 양변을 제곱할 때 또 다른 해 $\frac{|z|}{3}+1=-y$ 가 추가되었다. 그림과 달라지지 않았는지 확인해 보자.

$$\begin{aligned} &&& \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2=y^2\\ &\Leftrightarrow&& \underbrace{\frac{|z|}{3}+1}_{\text{양수}}=\pm y\\ &\Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y>0\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y<0 \end{cases}\\[0.1in] & \Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y\ge1\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} |z| =3(y-1) & y\ge1\\[0.05in] |z|=-3(y+1) & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =\pm \underbrace{3(y-1)}_{\text{양수}} & y\ge1\\ z=\pm \underbrace{3(y+1)}_{\text{음수}} & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =3(y-1) & y\ge1,\ z\ge0\\ z =-3(y-1) & y\ge1,\ z\le0\\ z=-3(y+1) & y\le-1,\ z \ge 0\\ z=3(y+1) & y\le-1,\ z\le 0 \end{cases} \end{aligned}$$

이는 그림과 정확히 일치한다. 따라서 이 곡면의 방정식은 다음과 같다. $$x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2$$