이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — CLP-3 · 1.7절 · 12번

CLP-3 · 1.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

아래 곡면은 $z$ 축을 중심으로 하는 원형 등위곡선을 가집니다. 주어진 직선들은 이 곡면과 $yz$ 평면의 오른쪽 절반이 만나서 생기는 것입니다. 이 곡면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

The surface below has circular level curves, centred along the $z$ -axis. The lines given are the intersection of the surface with the right half of the $yz$ -plane. Give an equation for the surface.

정답·풀이 보기

등위곡선이 ( $xy$ 평면에서) 원점을 중심으로 하는 원이므로, $z$ 가 상수일 때 방정식은 어떤 상수 $c$ 에 대하여 $x^2+y^2=c$ 꼴이다. 즉 방정식은 다음과 같은 꼴이다. $x^2+y^2=g(z),$ 여기서 $g(z)$ 는 $z$ 에만 의존하는 함수이다.

단면이 매우 대칭적이므로, 이 도형이 $yz$ 평면의 왼쪽과 만나는 부분도 알 수 있다: $z=3(-y-1)=-3(y+1)$ ( $z\ge0$ 일 때)이고 $z=-3(-y-1)=3(y+1)$ ( $z<0$ 일 때)이다. 아래는 이 곡면과 $yz$ 평면이 만나는 부분이다.

$x=0$ 을 대입하면 방정식은 $y^2=g(z)$ 가 된다. $yz$ 평면의 오른쪽을 보면 다음을 얻는다: $\left.\begin{cases} z=3(y-1) &z\geq 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때}\\ z=-3(y-1) &z< 0,\ y\ge 1 \text{ 일 때} \end{cases}\right\}$ . 즉,

$\begin{aligned} |z|&=3(y-1)\\ \frac{|z|}{3}+1&=y\\ \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2&=y^2 &(*) \end{aligned}$

간단한 확인: $(*)$ 에서 양변을 제곱할 때 또 다른 해 $\frac{|z|}{3}+1=-y$ 가 추가되었다. 그림과 달라지지 않았는지 확인해 보자.

$\begin{aligned} &&& \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2=y^2\\ &\Leftrightarrow&& \underbrace{\frac{|z|}{3}+1}_{\text{양수}}=\pm y\\ &\Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y>0\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y<0 \end{cases}\\[0.1in] & \Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y\ge1\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} |z| =3(y-1) & y\ge1\\[0.05in] |z|=-3(y+1) & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =\pm \underbrace{3(y-1)}_{\text{양수}} & y\ge1\\ z=\pm \underbrace{3(y+1)}_{\text{음수}} & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =3(y-1) & y\ge1,\ z\ge0\\ z =-3(y-1) & y\ge1,\ z\le0\\ z=-3(y+1) & y\le-1,\ z \ge 0\\ z=3(y+1) & y\le-1,\ z\le 0 \end{cases} \end{aligned}$

이는 그림과 정확히 일치한다. 따라서 이 곡면의 방정식은 다음과 같다. $x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2$

원본 교재 풀이(영어)

Since the level curves are circles centred at the origin (in the $xy$ -plane), when $z$ is a constant, the equation will have the form $x^2+y^2=c$ for some constant. That is, our equation looks like $x^2+y^2=g(z),$ where $g(z)$ is a function depending only on $z$ .

Because our cross-sections are so nicely symmetric, we know the intersection of the figure with the left side of the $yz$ -plane as well: $z=3(-y-1)=-3(y+1)$ (when $z\ge0$ ) and $z=-3(-y-1)=3(y+1)$ (when $z<0$ ). Below is the intersection of our surface with the $yz$ plane.

Setting $x=0$ , our equation becomes $y^2=g(z)$ . Looking at the right side of the $yz$ plane, this should lead to: $\left.\begin{cases} z=3(y-1) &\text{if } z\geq 0,\ y\ge 1\\ z=-3(y-1) &\text{if } z< 0,\ y\ge 1 \end{cases}\right\}$ . That is:

$\begin{aligned} |z|&=3(y-1)\\ \frac{|z|}{3}+1&=y\\ \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2&=y^2 &(*) \end{aligned}$

A quick check: when we squared both sides of the equation in $(*)$ , we added another solution, $\frac{|z|}{3}+1=-y$ . Let's make sure we haven't diverged from our diagram.

$\begin{aligned} &&& \left(\frac{|z|}{3}+1\right)^2=y^2\\ &\Leftrightarrow&& \underbrace{\frac{|z|}{3}+1}_{\text{positive}}=\pm y\\ &\Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y>0\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y<0 \end{cases}\\[0.1in] & \Leftrightarrow&& \begin{cases} \frac{|z|}{3}+1 =y & y\ge1\\[0.05in] \frac{|z|}{3}+1 =-y & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} |z| =3(y-1) & y\ge1\\[0.05in] |z|=-3(y+1) & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =\pm \underbrace{3(y-1)}_{\text{positive}} & y\ge1\\ z=\pm \underbrace{3(y+1)}_{\text{negative}} & y\le-1 \end{cases}\\[0.1in] &\Leftrightarrow&& \begin{cases} z =3(y-1) & y\ge1,\ z\ge0\\ z =-3(y-1) & y\ge1,\ z\le0\\ z=-3(y+1) & y\le-1,\ z \ge 0\\ z=3(y+1) & y\le-1,\ z\le 0 \end{cases} \end{aligned}$

This matches our diagram eactly. So, all together, the equation of the surface is $x^2+y^2=\left( \frac{|z|}{3}+1\right)^2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 11번우리말 번역

다음 곡면의 개형을 그리고 설명하세요.

(a) $4x^2+y^2=16$ (b) $x+y+2z=4$ (c) $\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1+\frac{x^2}{16}$ (d) $y^2=x^2+z^2$ (e) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{9}=1$ (f) $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ 단, $b$ 는 상수이다. (g) $\frac{x}{4}=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}$ (h) $z=x^2$

다 풀었으면 정답 확인

(a) 고정된 각각의 $z_0$ 에 대해, 이 곡면의 $z=z_0$ 단면( $xy$ 평면에 평행한 단면)은 원점을 중심으로 하는 타원이며, $x$ 축 방향의 반축의 길이는 2, $y$ 축 방향의 반축의 길이는 4 이다. 따라서 이것은 $z$ 축에 평행한 타원기둥이다. 다음은 $xy$ 평면 위쪽에 있는 곡면 부분의 개형이다.

(b) 이것은 세 점 $(4,0,0)$ , $(0,4,0)$ , $(0,0,2)$ 를 지나는 평면이다. 다음은 제1팔분공간에 있는 평면 부분의 개형이다.

(c) 고정된 각각의 $x_0$ 에 대해, $yz$ 평면에 평행한 $x=x_0$ 단면은 타원이며, $y$ 축에 평행한 반축의 길이는 $3\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ , $z$ 축에 평행한 반축의 길이는 $2\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16}}$ 이다. $x=0$ 에서 $x$ 축을 따라 멀어질수록 타원은 $\sqrt{1+\frac{x^2}{16}}$ 에 비례하는 비율로 커지며, 이는 $x$ 가 클 때 대략 $\frac{|x|}{4}$ 이다. 이것을 일엽쌍곡면이라 한다. 이 곡면의

(d) 고정된 각각의 $y_0$ 에 대해, $y=x_0$ 단면( $xz$ 평면에 평행한 단면)은 $y$ 축을 중심으로 하고 반지름이 $|y|$ 인 원이다. $y_0=0$ 일 때 반지름은 $0$ 이다. $xz$ 평면에서 어느 방향으로든 더 멀어질수록, 즉 $|y_0|$ 가 커질수록 반지름은 선형적으로(일정한 비율로) 커진다. 곡면 전체는 이러한 원들을 옆으로 쌓아 놓은 것이다. 이것은 $y$ 축을 중심축으로 하는 원뿔이다.

(e) 이것은 원점을 중심으로 하는 타원면이며, $x$ 축, $y$ 축, $z$ 축 방향의 반축의 길이는 각각 $3$ , $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , $3$ 이다.

(f) 세 번 완전제곱식으로 고치면, $x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0$ 일 필요충분조건은 $(x+2)^2+\big(y-\frac{b}{2}\big)^2+\big(z+\frac{9}{2}\big)^2 =b+4+\frac{b^2}{4}+\frac{81}{4}$ 이다. 이것은 반지름이 $r_b=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+4b+97}$ 이고 중심이 $\frac{1}{2}(-4,b,-9)$ 인 구이다.

(g) 곡면 위에는 $x<0$ 인 점이 없다. 고정된 각각의 $x_0>0$ 에 대해, $yz$ 평면에 평행한 단면 $x=x_0$ 는 $x$ 축을 중심으로 하는 타원이며, $y$ 축 방향의 반축의 길이는 $\sqrt{x_0}$ , $z$ 축 방향의 반축의 길이는 $\frac{3}{2}\sqrt{x_0}$ 이다. $x_0$ 가 커질수록, 즉 $x$ 축을 따라 멀어질수록 타원은 $\sqrt{x_0}$ 에 비례하는 비율로 커진다. 이것은 $x$ 축을 축으로 하는 타원포물면이다.

(h) 이것을 포물기둥이라 한다. 고정된 임의의 $y_0$ 에 대해, $y=y_0$ 단면( $xz$ 평면에 평행한 단면)은 위로 열린 포물선 $z=x^2$ 이며, 이 포물선의 꼭짓점은 $y$ 축 위에 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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