이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — CLP-3 · 1.7절 · 4번

CLP-3 · 1.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 등위곡선을 몇 개 그리세요.

(a) $f(x,y)=x^2+2y^2$ (b) $f(x,y)=xy$ (c) $f(x,y)=xe^{-y}$

영어 원문 보기

Sketch some of the level curves of

(a) $f(x,y)=x^2+2y^2$ (b) $f(x,y)=xy$ (c) $f(x,y)=xe^{-y}$

정답·풀이 보기

(a) 고정된 각 $c>0$ 에 대해 등위곡선 $x^2+2y^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c}$ , $y$ 방향 반축의 길이가 $\sqrt{c/2}$ 인 타원이다. $c=0$ 이면 등위곡선 $x^2+2y^2=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

(b) 고정된 각 $c\ne 0$ 에 대해 등위곡선 $xy=c$ 는 원점을 중심으로 하고 $x$ 축과 $y$ 축을 점근선으로 갖는 쌍곡선이다. $c>0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 같다. 따라서 쌍곡선은 제1사분면과 제3사분면에 놓인다. $c<0$ 이면 $xy=c>0$ 을 만족하는 $x$ 와 $y$ 는 부호가 반대이다. 따라서 쌍곡선은 제2사분면과 제4사분면에 놓인다. $c=0$ 이면 등위곡선 $xy=c=0$ 은 한 점 $(0,0)$ 뿐이다.

$x>0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^+$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow +\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c<0$ 일 때 이 곡선은 다음과 같다.

$x<0$ 으로 제한되며, 그래야 $\frac{c}{x}>0$ 이 되어 $\ln \frac{c}{x}$ 가 정의된다. 또한
$x\rightarrow 0^-$ 일 때 $y$ 는 $-\infty$ 로 가고,
$x\rightarrow -\infty$ 일 때 $y$ 는 $+\infty$ 로 간다. 그리고
$x=c$ 일 때 $x$ 축과 만난다(즉 $y=0$ 이다).

$c=0$ 이면 등위곡선 $xe^{-y}=c=0$ 은 $y$ 축, 곧 $x=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) For each fixed $c>0$ , the level curve $x^2+2y^2=c$ is the ellipse centred on the origin with $x$ semi axis $\sqrt{c}$ and $y$ semi axis $\sqrt{c/2}$ . If $c=0$ , the level curve $x^2+2y^2=c=0$ is the single point $(0,0)$ .

(b) For each fixed $c\ne 0$ , the level curve $xy=c$ is a hyperbola centred on the origin with asymptotes the $x$ - and $y$ -axes. If $c>0$ , any $x$ and $y$ obeying $xy=c>0$ are of the same sign. So the hyperbola is contained in the first and third quadrants. If $c<0$ , any $x$ and $y$ obeying $xy=c>0$ are of opposite sign. So the hyperbola is contained in the second and fourth quadrants. If $c=0$ , the level curve $xy=c=0$ is the single point $(0,0)$ .

(c) For each fixed $c\ne 0$ , the level curve $xe^{-y}=c$ is the logarithmic curve $y=-\ln\frac{c}{x}$ . Note that, for $c>0$ , the curve

is restricted to $x>0$ , so that $\frac{c}{x}>0$ and $\ln \frac{c}{x}$ is defined, and that
as $x\rightarrow 0^+$ , $y$ goes to $-\infty$ , while
as $x\rightarrow +\infty$ , $y$ goes to $+\infty$ , and
the curve crosses the $x$ -axis (i.e. has $y=0$ ) when $x=c$ .

and for $c<0$ , the curve

is restricted to $x<0$ , so that $\frac{c}{x}>0$ and $\ln \frac{c}{x}$ is defined, and that
as $x\rightarrow 0^-$ , $y$ goes to $-\infty$ , while
as $x\rightarrow -\infty$ , $y$ goes to $+\infty$ , and
the curve crosses the $x$ -axis (i.e. has $y=0$ ) when $x=c$ .

If $c=0$ , the level curve $xe^{-y}=c=0$ is the $y$ -axis, $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 5번우리말 번역

$f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 의 등위곡선을 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

$C=0$ 이면 등위곡선 $f=C=0$ 은 직선 $y=0$ 뿐이다. $C\ne 0$ (부호는 어느 쪽이든) 이면 등위곡선 $f=C$ 의 방정식 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}=C$ 를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

$x^2-\frac{2}{C}y+y^2=0 \iff x^2+\left(y-\frac{1}{C}\right)^2 =\frac{1}{C^2}$

이는 중심이 $\left(0\,,\,\frac{1}{C}\right)$ 이고 반지름이 $\frac{1}{|C|}$ 인 원의 방정식이다.

참고. 엄밀히 말하면, 함수 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 은 $(x,y)=(0,0)$ 에서 정의되지 않는다. 문제에서 $f$ 의 정의역에서 $(0,0)$ 을 제외한다고 밝히거나 $f(0,0)$ 의 값을 정해 주었어야 한다. 사실 $f(x,y)$ 가 $(0,0)$ 에서 연속이 되도록 $f(0,0)$ 의 값을 정하는 것은 불가능한데, $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0)=0$ 인 반면 $\lim_{y\rightarrow 0}f(0,|y|)=\infty$ 이기 때문이다. 따라서 $f$ 의 정의역을 $\mathbb{R}^2$ 에서 점 $(0,0)$ 을 제외한 것으로 잡는 편이 더 타당하다. 위 그림의 원점에 작은 구멍이 있는 이유가 이것이다.

이 문제로 이어서 풀기

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