이차곡면과 곡면 그리기 연습문제 — CLP-3 · 1.7절 · 5번

CLP-3 · 1.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 의 등위곡선을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the level curves of $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ .

정답·풀이 보기

$C=0$ 이면 등위곡선 $f=C=0$ 은 직선 $y=0$ 뿐이다. $C\ne 0$ (부호는 어느 쪽이든) 이면 등위곡선 $f=C$ 의 방정식 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}=C$ 를 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.

$x^2-\frac{2}{C}y+y^2=0 \iff x^2+\left(y-\frac{1}{C}\right)^2 =\frac{1}{C^2}$

이는 중심이 $\left(0\,,\,\frac{1}{C}\right)$ 이고 반지름이 $\frac{1}{|C|}$ 인 원의 방정식이다.

참고. 엄밀히 말하면, 함수 $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 은 $(x,y)=(0,0)$ 에서 정의되지 않는다. 문제에서 $f$ 의 정의역에서 $(0,0)$ 을 제외한다고 밝히거나 $f(0,0)$ 의 값을 정해 주었어야 한다. 사실 $f(x,y)$ 가 $(0,0)$ 에서 연속이 되도록 $f(0,0)$ 의 값을 정하는 것은 불가능한데, $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0)=0$ 인 반면 $\lim_{y\rightarrow 0}f(0,|y|)=\infty$ 이기 때문이다. 따라서 $f$ 의 정의역을 $\mathbb{R}^2$ 에서 점 $(0,0)$ 을 제외한 것으로 잡는 편이 더 타당하다. 위 그림의 원점에 작은 구멍이 있는 이유가 이것이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $C=0$ , the level curve $f=C=0$ is just the line $y=0$ . If $C\ne 0$ (of either sign), we may rewrite the equation, $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}=C$ , of the level curve $f=C$ as

$x^2-\frac{2}{C}y+y^2=0 \iff x^2+\left(y-\frac{1}{C}\right)^2 =\frac{1}{C^2}$

which is the equation of the circle of radius $\frac{1}{|C|}$ centred on $\left(0\,,\,\frac{1}{C}\right)$ .

Remark. To be picky, the function $f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ is not defined at $(x,y)=(0,0)$ . The question should have either specified that the domain of $f$ excludes $(0,0)$ or have specified a value for $f(0,0)$ . In fact, it is impossible to assign a value to $f(0,0)$ in such a way that $f(x,y)$ is continuous at $(0,0)$ , because $\lim_{x\rightarrow 0}f(x,0)=0$ while $\lim_{y\rightarrow 0}f(0,|y|)=\infty$ . So it makes more sense to have the domain of $f$ being $\mathbb{R}^2$ with the point $(0,0)$ removed. That's why there is a little hole at the origin in the above sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 6번우리말 번역

$f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 의 “등고선 지도”를 그리되, 나타나는 등위곡선의 종류를 모두 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

임의의 상수 $C$ 에 대해 곡선 $-x^2+4y^2=C$ 는 등위곡선 $f=e^C$ 임에 주목하자.

$C=0$ 이면 $-x^2+4y^2=C=0$ 은 두 직선 $y=\pm\frac{x}{2}$ 이다.
$C>0$ 이면 $-x^2+4y^2=C>0$ 은 쌍곡선 $y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}$ 이다.
$C<0$ 이면 $-x^2+4y^2=C<0$ 은 쌍곡선 $x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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