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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

이차곡면과 곡면 그리기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

f(x,y)=e−x2+4y2f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2} 의 “등고선 지도”를 그리되, 나타나는 등위곡선의 종류를 모두 보이세요.

영어 원문 보기

Draw a “contour map” of f(x,y)=e−x2+4y2f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2} , showing all types of level curves that occur.

정답·풀이 보기

임의의 상수 CC 에 대해 곡선 −x2+4y2=C-x^2+4y^2=C 는 등위곡선 f=eCf=e^C 임에 주목하자.

  • C=0C=0 이면 −x2+4y2=C=0-x^2+4y^2=C=0 은 두 직선 y=±x2y=\pm\frac{x}{2} 이다.
  • C>0C>0 이면 −x2+4y2=C>0-x^2+4y^2=C>0 은 쌍곡선 y=±12C+x2y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2} 이다.
  • C<0C<0 이면 −x2+4y2=C<0-x^2+4y^2=C<0 은 쌍곡선 x=±∣C∣+4y2x=\pm\sqrt{|C|+4y^2} 이다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

Observe that, for any constant CC, the curve −x2+4y2=C-x^2+4y^2=C is the level curve f=eCf=e^C.

  • If C=0C=0, then −x2+4y2=C=0-x^2+4y^2=C=0 is the pair of lines y=±x2y=\pm\frac{x}{2}.
  • If C>0C>0, then −x2+4y2=C>0-x^2+4y^2=C>0 is the hyperbola y=±12C+x2y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}.
  • If C<0C<0, then −x2+4y2=C<0-x^2+4y^2=C<0 is the hyperbola x=±∣C∣+4y2x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}.

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 7번우리말 번역

곡면이 다음과 같이 음함수로 주어져 있다.

x2+y2−z2+2z=0x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0

(a) 여러 개의 등위곡선 z=z = 상수를 그리세요. (b) 곡면의 대략적인 그림을 그리세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1

우변은 ∣z−1∣<1|z-1|<1, 즉 0<z<20<z<2 일 때 음수이다. 따라서 곡면 위의 점 중에는 0<z<20<z<2 인 점이 없다. 이 범위 밖에서 고정된 임의의 zz 에 대해 곡선 x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1 은 zz 축 위에 중심이 있는 원이고, 그 반지름은 (z−1)2−1\sqrt{(z-1)^2 - 1} 이다. 이 반지름은 z=0,2z=0,2 일 때 00 이고, zz 가 z=0,2z=0,2 에서 멀어질수록 커진다. ∣z∣|z| 가 매우 크면 반지름은 ∣z∣|z| 에 거의 비례하여 커진다. 다음은 등위곡선 몇 개를 그린 그림이다.

그림

(b) 이 곡면은 원이 쌓인 두 개의 더미로 이루어져 있다. 한 더미는 z=2z=2 에서 반지름 00 으로 시작한다. zz 가 커짐에 따라 반지름이 커진다. 다른 더미는 z=0z=0 에서 반지름 00 으로 시작한다. zz 가 작아짐에 따라 반지름이 커진다. 이 곡면은 이엽쌍곡면이다. 다음은 두 개의 그림이다. 왼쪽 그림은 곡면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그림이다. 오른쪽 그림은 곡면 전체의 그림이다.

그림

그림

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