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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

이차곡면과 곡면 그리기

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 1.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

곡면이 다음과 같이 음함수로 주어져 있다.

x2+y2−z2+2z=0x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0

(a) 여러 개의 등위곡선 z=z = 상수를 그리세요. (b) 곡면의 대략적인 그림을 그리세요.

영어 원문 보기

A surface is given implicitly by

x2+y2−z2+2z=0x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0

(a) Sketch several level curves z=z = constant. (b) Draw a rough sketch of the surface.

정답·풀이 보기

(a) 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1

우변은 ∣z−1∣<1|z-1|<1, 즉 0<z<20<z<2 일 때 음수이다. 따라서 곡면 위의 점 중에는 0<z<20<z<2 인 점이 없다. 이 범위 밖에서 고정된 임의의 zz 에 대해 곡선 x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1 은 zz 축 위에 중심이 있는 원이고, 그 반지름은 (z−1)2−1\sqrt{(z-1)^2 - 1} 이다. 이 반지름은 z=0,2z=0,2 일 때 00 이고, zz 가 z=0,2z=0,2 에서 멀어질수록 커진다. ∣z∣|z| 가 매우 크면 반지름은 ∣z∣|z| 에 거의 비례하여 커진다. 다음은 등위곡선 몇 개를 그린 그림이다.

그림

(b) 이 곡면은 원이 쌓인 두 개의 더미로 이루어져 있다. 한 더미는 z=2z=2 에서 반지름 00 으로 시작한다. zz 가 커짐에 따라 반지름이 커진다. 다른 더미는 z=0z=0 에서 반지름 00 으로 시작한다. zz 가 작아짐에 따라 반지름이 커진다. 이 곡면은 이엽쌍곡면이다. 다음은 두 개의 그림이다. 왼쪽 그림은 곡면 중 제1팔분공간에 있는 부분의 그림이다. 오른쪽 그림은 곡면 전체의 그림이다.

그림

그림

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can rewrite the equation as

x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1

The right hand side is negative for ∣z−1∣<1|z-1|<1, i.e. for 0<z<20<z<2. So no point on the surface has 0<z<20<z<2. For any fixed zz, outside that range, the curve x2+y2=(z−1)2−1x^2 + y^2 = (z-1)^2 - 1 is the circle of radius (z−1)2−1\sqrt{(z-1)^2 - 1} centred on the zz–axis. That radius is 00 when z=0,2z=0,2 and increases as zz moves away from z=0,2z=0,2. For very large ∣z∣|z|, the radius increases roughly linearly with ∣z∣|z|. Here is a sketch of some level curves.

figure

(b) The surface consists of two stacks of circles. One stack starts with radius 00 at z=2z=2. The radius increases as zz increases. The other stack starts with radius 00 at z=0z=0. The radius increases as zz decreases. This surface is a hyperboloid of two sheets. Here are two sketchs. The sketch on the left is of the part of the surface in the first octant. The sketch on the right of the full surface.

figure

figure

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 1.7절 · 1번우리말 번역

다음 방정식과 식을 알맞은 그림과 짝지으세요. 직교좌표는 (x,y,z)(x, y, z), 원기둥좌표는 (r,θ,z)(r, \theta, z), 구면좌표는 (ρ,θ,φ)(\rho, \theta, \varphi) 입니다.

(A) 그림

(B) 그림

(C) 그림

(D) 그림

(E) 그림

(F) 그림

(a)φ=π/3(b)r=2cos⁡θ(c)x2+y2=z2+1(d)y=x2+z2(e)ρ=2cos⁡φ(f)z=x4+y4−4xy\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& \varphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1 \\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\varphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{aligned}

다 풀었으면 정답 확인

(a) φ=π3\varphi =\frac{\pi}{3} 는 (구면좌표) φ\varphi 가 상수인 곡면이다. 따라서 원점을 꼭짓점으로 하는 원뿔이다. 0≤φ≤π20\le\varphi\le\frac{\pi}{2} 이므로 z≥0z\ge 0 이고, 다음과 같이 φ=π3\varphi=\frac{\pi}{3} 를 직교좌표로 나타낼 수 있다.

φ=π3  ⟺  tan⁡φ=32  ⟺  ρsin⁡φ=32ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2=32z\begin{aligned} \varphi=\frac{\pi}{3} \iff \tan\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2} \iff \rho\sin\varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}\rho\cos\varphi \iff \sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{3}}{2} z \end{aligned}

따라서 (a)에 해당하는 그림은 (C)이다.

(b) rr 와 θ\theta 는 원기둥좌표이므로

r=2cos⁡θ  ⟺  r2=2rcos⁡θ  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos\theta \iff r^2=2 r\cos\theta \iff x^2+y^2 = 2x \iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

(x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 에는 zz 가 나타나지 않는다. 따라서 (x−1)2+y2=1(x-1)^2+y^2=1 의 zz 가 상수인 모든 단면은 직선 x=1x=1, y=0y=0 위에 중심이 있고 반지름이 11 인 (수평) 원이다. 이는 직선 x=1x=1, y=0y=0 을 중심축으로 하고 반지름이 11 인 원기둥이다. 따라서 (b)에 해당하는 그림은 (F)이다.

(c) x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 의 zz 가 상수인 각 단면은 zz 축 위에 중심이 있는 (수평) 원이다. 이 원의 반지름은 z=0z=0 일 때 11 이고, zz 가 z=0z=0 에서 멀어질수록 커진다. 따라서 x2+y2=z2+1x^2+y^2=z^2+1 은 (수평) 원들이 차곡차곡 쌓인 모양이고, 반지름은 ∣z∣|z| 에 따라 증가한다. 이는 일엽쌍곡면이다. (c)에 해당하는 그림은 (D)이다.

(d) y=x2+z2y=x^2+z^2 의 모든 점은 y≥0y\ge 0 이다. 이 성질을 가진 것은 (B)뿐이다. 또한 yy 가 상수인 각 단면은 x=z=0x=z=0 에 중심이 있는 원임을 알 수 있다. 이 원의 반지름은 y=0y=0 일 때 00 이고, yy 가 커질수록 증가한다. 곡면 y=x2+z2y=x^2+z^2 은 포물면이다. (d)에 해당하는 그림은 (B)이다.

(e) ρ\rho 와 φ\varphi 는 구면좌표이므로

ρ=2cos⁡φ  ⟺  ρ2=2ρcos⁡φ  ⟺  x2+y2+z2=2z  ⟺  x2+y2+(z−1)2=1\begin{aligned} \rho=2\cos\varphi \iff \rho^2=2\rho\cos\varphi \iff x^2+y^2+z^2=2z \iff x^2+y^2 + (z-1)^2=1 \end{aligned}

이는 (0,0,1)(0,0,1) 을 중심으로 하고 반지름이 11 인 구이다. (e)에 해당하는 그림은 (A)이다.

(f) 남은 가능성은 하나뿐이므로 (f)에 해당하는 그림은 (E)이다.

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