다변수함수의 극한과 연속 연습문제 — CLP-3 · 2.1절 · 1번

CLP-3 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 다음을 만족시키는 함수라고 하자. $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

참 또는 거짓: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

영어 원문 보기

Suppose $f(x,y)$ is a function such that $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ .

True or false: $|f(0.1,0.1)-10|<|f(0.2,0.2)-10|$

정답·풀이 보기

일반적으로 이 명제는 거짓이다. $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ 을 생각하자.

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (이 함수는 연속이다)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

우리는 흔히 (다소 안이하게) 극한 “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " 을 $(x,y)$ 가 원점에 가까워질수록 $f(x,y)$ 가 10 에 점점 가까워진다는 뜻으로 해석한다. 그러나 극한의 정의가 뜻하는 바는 정확히 이것이 아니다. 정의가 말해 주는 것은, $(x,y)$ 를 $(0,0)$ 에 충분히 가깝게 택하면 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가깝도록 보장할 수 있다는 것이다.

$(0,0)$ 에 가깝지 않은 어떤 $(x,y)$ 에 대해서도 $f(x,y)$ 가 10 에 매우 가까울 수 있다. 게다가 $f(x,y)$ 가 10 에 “매우 가까워지려면" $(0,0)$ 에 얼마나 가까이 가야 하는지는 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. Consider $f(x,y)=12-(1-10x)^2-(1-10y)^2$ .

$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=12-1-1=10$ (the function is continuous)
$f(0.1,0.1)=12-(1-1)^2-(1-1)^2=12$
$f(0.2,0.2)=12-(1-2)^2-(1-2)^2=10$

We often (somewhat lazily) interpret the limit “ $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10$ " to mean that, as $(x,y)$ gets closer and closer to the origin, $f(x,y)$ gets closer and closer to 10. This isn't exactly what the definition means, though. The definition tells us that, we can guarantee that $f(x,y)$ be very close to 10 by choosing $(x,y)$ very close to $(0,0)$ .

The function $f(x,y)$ can also be very close to 10 for some $(x,y)$ 's that are not close to $(0,0)$ . Moreover, we don't know how close to $(0,0)$ we have to be in order for $f(x,y)$ to be “very close" to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.1절 · 3번우리말 번역

$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 이라 하자.

(a) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=1$ 인 것을 구하세요. (b) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=0$ 인 것을 구하세요. (c) 위의 결과는 $f(x,y)$ 의 극한에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 살펴보면, $y=0$ 일 때 $x \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=1$ 이다. 따라서 $x$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=1$ 이다. (b) 마찬가지로 살펴보면, $x=0$ 일 때 $y \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=0$ 이다. 따라서 $y$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=0$ 이다. (c) 원점에 접근하는 서로 다른 두 방향이 서로 다른 값을 주므로 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 는 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다변수함수의 극한과 연속개념 확인기본자동 분류