다변수함수의 극한과 연속 연습문제 — CLP-3 · 2.1절 · 3번

CLP-3 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ 이라 하자.

(a) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=1$ 인 것을 구하세요. (b) 원점에 접근하는 반직선 중 그 위에서 $f(x,y)=0$ 인 것을 구하세요. (c) 위의 결과는 $f(x,y)$ 의 극한에 대해 무엇을 보여 주는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}$ .

(a) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=1$ . (b) Find a ray approaching the origin along which $f(x,y)=0$ . (c) What does the above work show about a limit of $f(x,y)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 살펴보면, $y=0$ 일 때 $x \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=1$ 이다. 따라서 $x$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=1$ 이다. (b) 마찬가지로 살펴보면, $x=0$ 일 때 $y \neq 0$ 이기만 하면 $f(x,y)=0$ 이다. 따라서 $y$ 축을 따라 원점으로 접근하면 이 경로 위에서 $f(x,y)=0$ 이다. (c) 원점에 접근하는 서로 다른 두 방향이 서로 다른 값을 주므로 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By inspection, when $y=0$ , then $f(x,y)=1$ as long as $x \neq 0$ . So, if we follow the $x$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=1$ along this route. (b) Also by inspection, when $x=0$ , then $f(x,y)=0$ as long as $y \neq 0$ . So, if we follow the $y$ -axis in towards the origin, $f(x,y)=0$ along this route. (c) Since two different directions give us different values as we approach the origin, $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.1절 · 7번우리말 번역

(a) 극한을 구하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}$ . (b) 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ .

다 풀었으면 정답 확인

(a) 극좌표에서 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4} &=\frac{r^8\cos^8\theta+r^8\sin^8\theta}{r^4\cos^4\theta+r^4\sin^4\theta} =r^4\frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \end{aligned}$

이때

$\begin{aligned} \frac{\cos^8\theta+\sin^8\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} &\le \frac{\cos^8\theta+2\cos^4\theta\sin^4\theta+\sin^8\theta} {\cos^4\theta+\sin^4\theta} =\frac{\big(\cos^4\theta+\sin^4\theta\big)^2}{\cos^4\theta+\sin^4\theta} \\ &=\cos^4\theta+\sin^4\theta \le 2 \end{aligned}$

이므로

$0\le \frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\le 2r^4$

이다. $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}2r^4=0$ 이므로 조임 정리에 의해 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}=0$ 이다.

(b) 극좌표에서

$\begin{aligned} \frac{xy^5}{x^8+y^{10}} &=\frac{r^6\cos\theta\,\sin^5\theta}{r^8\cos^8\theta+r^{10}\sin^{10}\theta} =\frac{1}{r^2}\frac{\cos\theta\,\sin^5\theta}{\cos^8\theta+r^2\sin^{10}\theta} \end{aligned}$

이다. $(x,y)\to (0,0)$ 일 때 첫째 분수 $\frac{1}{r^2}\to\infty$ 이지만, 둘째 인수는 여러 가지 다른 값을 가질 수 있다. 예를 들어 $(x,y)$ 를 $y$ 축을 따라, 즉 $\theta=\pm\frac{\pi}{2}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{x=0}}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^{10}}=0 \end{aligned}$

이다. 그러나 $(x,y)$ 를 직선 $y=x$ 를 따라, 즉 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =+\infty \end{aligned}$

이고, $(x,y)$ 를 직선 $y=-x$ 를 따라, 즉 $\theta=-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}$ 로 원점에 가까이 보내면

$\begin{aligned} \lim_{\genfrac{}{}{0pt}{}{(x,y)\to(0,0)}{y=-x} }\frac{xy^5}{x^8+y^{10}} =\lim_{x\to 0} \frac{-x^6}{x^8+x^{10}} =\lim_{x\to 0}- \frac{1}{x^2}\frac{1}{1+x^2} =-\infty \end{aligned}$

이다. 따라서 $(x,y)\to(0,0)$ 일 때 $\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}$ 은 하나의 값에 가까워지지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

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