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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

라그랑주 승수법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.10절 · 30번대학 수준우리말 번역

f(x,y)f(x,y) 가 연속인 편도함수를 가진다고 하자. 곡선 xy=1xy=1 위에서 f(x,y)f(x,y) 의 극솟값과 극댓값을 구하는 문제를 생각하자.

  • g(x,y)=xy−1g(x,y) = xy -1 로 정의한다. 라그랑주 승수법에 따르면, (x,y)(x,y) 가 곡선 xy=1xy=1 위에서 f(x,y)f(x,y) 의 극소 또는 극대이면 다음을 만족하는 실수 λ\lambda 가 존재한다.

∇f(x,y)=λ∇g(x,y),g(x,y)=0(E1){ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}

  • 곡선 xy=1xy=1 위에서 y=1xy=\frac{1}{x} 이고 f(x,y)=f(x,1x)f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big) 이다. F(x)=f(x,1x)F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big) 로 정의한다. x≠0x\ne 0 에서 F(x)F(x) 가 극소 또는 극대이면 다음이 성립한다.

F′(x)=0(E2)F'(x)=0 \tag{E2}

다음의 의미에서 (E1)과 (E2)가 동치임을 보이세요.

(x,y,λ) 가 (E1)을 만족하는 λ 가 존재한다필요충분조건은x≠0 이 (E2)를 만족하고 y=1/x 인 것이다.\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다}\\ &\text{필요충분조건은}\\ &\text{$x\ne 0$ 이 (E2)를 만족하고 $y={1}/{x}$ 인 것이다.} \end{aligned}

영어 원문 보기

Let f(x,y)f(x,y) have continuous partial derivatives. Consider the problem of finding local minima and maxima of f(x,y)f(x,y) on the curve xy=1xy=1.

  • Define g(x,y)=xy−1g(x,y) = xy -1. According to the method of Lagrange multipliers, if (x,y)(x,y) is a local minimum or maximum of f(x,y)f(x,y) on the curve xy=1xy=1, then there is a real number λ\lambda such that

∇f(x,y)=λ∇g(x,y),g(x,y)=0(E1){ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}

  • On the curve xy=1xy=1, we have y=1xy=\frac{1}{x} and f(x,y)=f(x,1x)f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big). Define F(x)=f(x,1x)F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big). If x≠0x\ne 0 is a local minimum or maximum of F(x)F(x), we have that

F′(x)=0(E2)F'(x)=0 \tag{E2}

Show that (E1) is equivalent to (E2), in the sense that

there is a λ such that (x,y,λ) obeys (E1)if and only ifx≠0 obeys (E2) and y=1/x.\begin{aligned} &\text{there is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)}\\ &\text{if and only if}\\ &\text{$x\ne 0$ obeys (E2) and $y={1}/{x}$.} \end{aligned}

정답·풀이 보기

(x,y)(x,y) 가 g(x,y)=xy−1=0g(x,y)=xy-1=0 을 만족하면 xx 는 반드시 00 이 아님에 유의한다. 따라서 x≠0x\ne 0 이라고 가정해도 된다. 그러면

(x,y,λ) 가 (E1)을 만족하는 λ 가 존재한다  ⟺  다음을 만족하는 λ 가 존재한다: fx(x,y)=λgx(x,y),fy(x,y)=λgy(x,y),g(x,y)=0  ⟺  다음을 만족하는 λ 가 존재한다: fx(x,y)=λy,fy(x,y)=λx,xy=1  ⟺  다음을 만족하는 λ 가 존재한다: 1yfx(x,y)=1xfy(x,y)=λ,xy=1  ⟺  1yfx(x,y)=1xfy(x,y),xy=1  ⟺  xfx( ⁣x,1x)=1xfy( ⁣x,1x),y=1x  ⟺  F′(x)=ddxf( ⁣x,1x)=fx( ⁣x,1x)−1x2fy( ⁣x,1x)=0,y=1x\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다} \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Note that if (x,y)(x,y) obeys g(x,y)=xy−1=0g(x,y)=xy-1=0, then xx is necessarily nonzero. So we may assume that x≠0x\ne 0. Then

There is a λ such that (x,y,λ) obeys (E1)  ⟺  there is a λ such that fx(x,y)=λgx(x,y),fy(x,y)=λgy(x,y),g(x,y)=0  ⟺  there is a λ such that fx(x,y)=λy,fy(x,y)=λx,xy=1  ⟺  there is a λ such that 1yfx(x,y)=1xfy(x,y)=λ,xy=1  ⟺  1yfx(x,y)=1xfy(x,y),xy=1  ⟺  xfx( ⁣x,1x)=1xfy( ⁣x,1x),y=1x  ⟺  F′(x)=ddxf( ⁣x,1x)=fx( ⁣x,1x)−1x2fy( ⁣x,1x)=0,y=1x\begin{aligned} &\text{There is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)} \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.8절 · 18번우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 사용하여 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=x2+y2,x+2y−5=0f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2},x+2y-5=0 의 최솟값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

f(1,2)=5f(1,2)=5

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