편도함수

(a) $z(x,y)$ 는 다음을 만족시킨다고 주어졌다.

$$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$$

이는 모든 $(x,y)$ ($(-1,-2)$ 근방)에 대해 성립한다. $(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} y\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + 1 = \frac{1}{x} + \frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $xz$ 를 곱하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$$

$(*)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$$\begin{aligned} z(x,y)+y\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 1 = \frac{1}{y} + \frac{\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{\frac{1}{y}+1-z(x,y)}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $yz$ 를 곱하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$$

(b) $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ 일 때,

$$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-1}-1}{-2-2} =\frac{1}{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{y}+1-z}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-2}+1-\frac{1}{2}}{-2-2} =0 \end{aligned}$$