편도함수 연습문제 — CLP-3 · 2.2절 · 6번

CLP-3 · 2.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

곡면 $z(x, y)$ 가 $zy - y + x = \ln(xyz)$ 로 정의된다.

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 로 나타내어 구하세요. (b) $(x, y, z) = (-1, -2, 1/2)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface $z(x, y)$ is defined by $zy - y + x = \ln(xyz)$ .

(a) Compute $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ in terms of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ and $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(x, y, z) = (-1, -2, 1/2)$ .

정답·풀이 보기

(a) $z(x,y)$ 는 다음을 만족시킨다고 주어졌다.

$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$

이는 모든 $(x,y)$ ( $(-1,-2)$ 근방)에 대해 성립한다. $(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + 1 = \frac{1}{x} + \frac{\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $xz$ 를 곱하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$

$(*)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} z(x,y)+y\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 1 = \frac{1}{y} + \frac{\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)}{z(x,y)} \implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{\frac{1}{y}+1-z(x,y)}{y-\frac{1}{z(x,y)}} \end{aligned}$

이고, 인수 $(x,y)$ 를 생략한 뒤 분자와 분모에 모두 $yz$ 를 곱하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$

(b) $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{x}-1}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-1}-1}{-2-2} =\frac{1}{2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}(-1,-2) &= \left.\frac{\frac{1}{y}+1-z}{y-\frac{1}{z}} \right|_{(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)} =\frac{\frac{1}{-2}+1-\frac{1}{2}}{-2-2} =0 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that $z(x,y)$ obeys

$\begin{aligned} z(x,y)\, y - y + x = \ln\big(xy\,z(x,y)\big) \tag{$*$}\end{aligned}$

for all $(x,y)$ (near $(-1,-2)$ ). Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

or, dropping the arguments $(x,y)$ and multiplying both the numerator and denominator by $xz$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{z-xz}{xyz-x} = \frac{z(1-x)}{x(yz-1)} \end{aligned}$

Differentiating $(*)$ with respect to $y$ gives

or, dropping the arguments $(x,y)$ and multiplying both the numerator and denominator by $yz$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z+yz-yz^2}{y^2z-y} = \frac{z(1+y-yz)}{y(yz-1)} \end{aligned}$

(b) When $(x,y,z) = (-1, -2, 1/2)$ ,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.2절 · 7번우리말 번역

$(T, U, V, W)$ 가 다음 식으로 서로 관계되어 있을 때, $(1, 1, 2, 4)$ 에서 $\frac{\partial U}{\partial T}$ 와 $\frac{\partial T}{\partial V}$ 를 구하세요.

$(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$

다 풀었으면 정답 확인

네 변수 $T$ , $U$ , $V$ , $W$ 는 하나의 방정식 $(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2$ 를 만족한다고 하였다. 따라서 이 변수들이 모두 독립인 것은 아니다. 대략 말하면, 이 중 세 변수를 독립변수로 보고, 주어진 방정식을 나머지 한 변수에 대해 선택한 세 독립변수의 함수로 풀 수 있다.

먼저 $\frac{\partial U}{\partial T}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $T$ , $V$ , $W$ 를 독립변수로 보고 $U$ 를 다음을 만족하는 함수 $U(T,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E1)의 양변을 $T$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}$

다음으로 $\frac{\partial T}{\partial V}$ 를 구하라고 하였다. 이는 $U$ , $V$ , $W$ 를 독립변수로 보고 $T$ 를 다음을 만족하는 함수 $T(U,V,W)$ 로 보라는 뜻이다.

$\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}$

이는 $(1, 1, 2, 4)$ 에 충분히 가까운 모든 $(T, U, V, W)$ 에 대해 성립한다. (E2)의 양변을 $V$ 에 대해 미분하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}$

특히 $(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4)$ 에서는 다음과 같다.

$\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}$

이를 간단히 하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 편도함수계산보통자동 분류