편도함수 연습문제 — CLP-3 · 2.2절 · 4번

CLP-3 · 2.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 모든 1계 편도함수를 구하고, 주어진 점에서의 값을 구하세요.

(a) $f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)$ (b) $w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)$ (c) $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)$

영어 원문 보기

Find all first partial derivatives of the following functions and evaluate them at the given point.

(a) $f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)$ (b) $w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)$ (c) $f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)$

정답·풀이 보기

(a)

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}$

(b)

$\begin{aligned} w_x(x,y,z)&=\frac{yz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_x(2,0,-1)&=0\\ w_y(x,y,z)&=\frac{xz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_y(2,0,-1)&=-1\\ w_z(x,y,z)&=\frac{xy e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_z(2,0,-1)&=0 \end{aligned}$

(c)

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

$\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}$

(b)

(c)

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.2절 · 5번우리말 번역

함수 $z(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$ 가 다음을 만족시킴을 보이세요.

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0$

다 풀었으면 정답 확인

몫의 미분법에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(1)}{(x-y)^2} &&=\frac{-2y}{(x-y)^2}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) &=\frac{(1)(x-y)-(x+y)(-1)}{(x-y)^2} &&=\frac{2x}{(x-y)^2} \end{aligned}$

따라서

$x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =\frac{-2xy+2yx}{(x-y)^2} =0$

이 문제로 이어서 풀기

# 편도함수계산보통자동 분류