빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

(T,U,V,W)(T, U, V, W) 가 다음 식으로 서로 관계되어 있을 때, (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4) 에서 ∂U∂T\frac{\partial U}{\partial T} 와 ∂T∂V\frac{\partial T}{\partial V} 를 구하세요.

(TU−V)2ln⁡(W−UV)=ln⁡2(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2

영어 원문 보기

Find ∂U∂T\frac{\partial U}{\partial T} and ∂T∂V\frac{\partial T}{\partial V} at (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4) if (T,U,V,W)(T, U, V, W) are related by

(TU−V)2ln⁡(W−UV)=ln⁡2(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2

정답·풀이 보기

네 변수 TT, UU, VV, WW 는 하나의 방정식 (TU−V)2ln⁡(W−UV)=ln⁡2(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2 를 만족한다고 하였다. 따라서 이 변수들이 모두 독립인 것은 아니다. 대략 말하면, 이 중 세 변수를 독립변수로 보고, 주어진 방정식을 나머지 한 변수에 대해 선택한 세 독립변수의 함수로 풀 수 있다.

먼저 ∂U∂T\frac{\partial U}{\partial T} 를 구하라고 하였다. 이는 TT, VV, WW 를 독립변수로 보고 UU 를 다음을 만족하는 함수 U(T,V,W)U(T,V,W) 로 보라는 뜻이다.

(T U(T,V,W)−V)2ln⁡(W−U(T,V,W) V)=ln⁡2(E1)\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}

이는 (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4) 에 충분히 가까운 모든 (T,U,V,W)(T, U, V, W) 에 대해 성립한다. (E1)의 양변을 TT 에 대해 미분하면 다음과 같다.

2(T U(T,V,W)−V)[U(T,V,W)+T ∂U∂T(T,V,W)]ln⁡(W−U(T,V,W) V)−(T U(T,V,W)−V)21W−U(T,V,W) V∂U∂T(T,V,W) V=0\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}

특히 (T,U,V,W)=(1,1,2,4)(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4) 에서는 다음과 같다.

2((1)(1)−2)[1+(1)∂U∂T(1,2,4)]ln⁡(4−(1)(2))−((1)(1)−2)214−(1)(2)∂U∂T(1,2,4) (2)=0\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}

이를 간단히 하면 다음과 같다.

−2[1+∂U∂T(1,2,4)]ln⁡(2)−∂U∂T(1,2,4)=0  ⟹  ∂U∂T(1,2,4)=−2ln⁡(2)1+2ln⁡(2)\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}

다음으로 ∂T∂V\frac{\partial T}{\partial V} 를 구하라고 하였다. 이는 UU, VV, WW 를 독립변수로 보고 TT 를 다음을 만족하는 함수 T(U,V,W)T(U,V,W) 로 보라는 뜻이다.

(T(U,V,W) U−V)2ln⁡(W−U V)=ln⁡2(E2)\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}

이는 (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4) 에 충분히 가까운 모든 (T,U,V,W)(T, U, V, W) 에 대해 성립한다. (E2)의 양변을 VV 에 대해 미분하면 다음과 같다.

2(T(U,V,W) U−V) [∂T∂V(U,V,W) U−1]ln⁡(W−U V)−(T(U,V,W) U−V)2UW−U V=0\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}

특히 (T,U,V,W)=(1,1,2,4)(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4) 에서는 다음과 같다.

2((1)(1)−2)[(1)∂T∂V(1,2,4)−1]ln⁡(4−(1)(2))−((1)(1)−2)214−(1)(2)=0\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}

이를 간단히 하면 다음과 같다.

−2[∂T∂V(1,2,4)−1]ln⁡(2)−12=0  ⟹  ∂T∂V(1,2,4)=1−14ln⁡(2)\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We are told that the four variables TT, UU, VV, WW obey the single equation (TU−V)2ln⁡(W−UV)=ln⁡2(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2. So they are not all independent variables. Roughly speaking, we can treat any three of them as independent variables and solve the given equation for the fourth as a function of the three chosen independent variables.

We are first asked to find ∂U∂T\frac{\partial U}{\partial T}. This implicitly tells to treat TT, VV and WW as independent variables and to view UU as a function U(T,V,W)U(T,V,W) that obeys

(T U(T,V,W)−V)2ln⁡(W−U(T,V,W) V)=ln⁡2(E1)\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) = \ln 2 \tag{E1}

for all (T,U,V,W)(T, U, V, W) sufficiently near (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4). Differentiating (E1) with respect to TT gives

2(T U(T,V,W)−V)[U(T,V,W)+T ∂U∂T(T,V,W)]ln⁡(W−U(T,V,W) V)−(T U(T,V,W)−V)21W−U(T,V,W) V∂U∂T(T,V,W) V=0\begin{aligned} &2\big(T\, U(T,V,W)-V\big) \left[ U(T,V,W) +T\ \frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\right] \ln\big(W-U(T,V,W)\,V\big) \\ & -\big(T\, U(T,V,W)-V\big)^2 \frac{1}{W-U(T,V,W)\,V}\frac{\partial U}{\partial T}(T,V,W)\,V = 0 \end{aligned}

In particular, for (T,U,V,W)=(1,1,2,4)(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4),

2((1)(1)−2)[1+(1)∂U∂T(1,2,4)]ln⁡(4−(1)(2))−((1)(1)−2)214−(1)(2)∂U∂T(1,2,4) (2)=0\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ 1 +(1)\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)}\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\,(2) = 0 \end{aligned}

This simplifies to

−2[1+∂U∂T(1,2,4)]ln⁡(2)−∂U∂T(1,2,4)=0  ⟹  ∂U∂T(1,2,4)=−2ln⁡(2)1+2ln⁡(2)\begin{aligned} -2\left[ 1 +\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)\right] \ln(2) -\frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4)=0 \implies \frac{\partial U}{\partial T}(1,2,4) = -\frac{2\ln(2)}{1+2\ln(2)} \end{aligned}

We are then asked to find ∂T∂V\frac{\partial T}{\partial V}. This implicitly tells to treat UU, VV and WW as independent variables and to view TT as a function T(U,V,W)T(U,V,W) that obeys

(T(U,V,W) U−V)2ln⁡(W−U V)=ln⁡2(E2)\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \ln\big(W-U\,V\big) = \ln 2 \tag{E2}

for all (T,U,V,W)(T, U, V, W) sufficiently near (1,1,2,4)(1, 1, 2, 4). Differentiating (E2) with respect to VV gives

2(T(U,V,W) U−V) [∂T∂V(U,V,W) U−1]ln⁡(W−U V)−(T(U,V,W) U−V)2UW−U V=0\begin{aligned} &2\big(T(U,V,W)\, U-V\big)\ \left[\frac{\partial T}{\partial V}(U,V,W)\ U-1\right] \ln\big(W-U\,V\big) \\ & -\big(T(U,V,W)\, U-V\big)^2 \frac{U}{W-U\,V} = 0 \end{aligned}

In particular, for (T,U,V,W)=(1,1,2,4)(T, U, V, W)=(1, 1, 2, 4),

2((1)(1)−2)[(1)∂T∂V(1,2,4)−1]ln⁡(4−(1)(2))−((1)(1)−2)214−(1)(2)=0\begin{aligned} &2\big((1)(1)-2\big) \left[ (1)\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln\big(4-(1)(2)\big) \\ & -\big((1)(1)-2\big)^2 \frac{1}{4-(1)(2)} = 0 \end{aligned}

This simplifies to

−2[∂T∂V(1,2,4)−1]ln⁡(2)−12=0  ⟹  ∂T∂V(1,2,4)=1−14ln⁡(2)\begin{aligned} -2\left[\frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4)-1\right] \ln(2) -\frac{1}{2}=0 \implies \frac{\partial T}{\partial V}(1,2,4) = 1 -\frac{1}{4\ln(2)} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.2절 · 4번우리말 번역

다음 함수의 모든 1계 편도함수를 구하고, 주어진 점에서의 값을 구하세요.

(a) f(x,y,z)=x3y4z5(0,−1,−1)f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1) (b) w(x,y,z)=ln⁡(1+exyz)(2,0,−1)w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1) (c) f(x,y)=1x2+y2(−3,4)f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)

다 풀었으면 정답 확인

(a)

fx(x,y,z)=3x2y4z5fx(0,−1,−1)=0fy(x,y,z)=4x3y3z5fy(0,−1,−1)=0fz(x,y,z)=5x3y4z4fz(0,−1,−1)=0\begin{aligned} f_x(x,y,z)&=3x^2y^4z^5 & f_x(0,-1,-1)&=0\\ f_y(x,y,z)&=4x^3y^3z^5 & f_y(0,-1,-1)&=0\\ f_z(x,y,z)&=5x^3y^4z^4 & f_z(0,-1,-1)&=0 \end{aligned}

(b)

wx(x,y,z)=yzexyz1+exyzwx(2,0,−1)=0wy(x,y,z)=xzexyz1+exyzwy(2,0,−1)=−1wz(x,y,z)=xyexyz1+exyzwz(2,0,−1)=0\begin{aligned} w_x(x,y,z)&=\frac{yz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_x(2,0,-1)&=0\\ w_y(x,y,z)&=\frac{xz e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_y(2,0,-1)&=-1\\ w_z(x,y,z)&=\frac{xy e^{xyz}}{1+e^{xyz}} & w_z(2,0,-1)&=0 \end{aligned}

(c)

fx(x,y)=−x(x2+y2)3/2fx(−3,4)=3125fy(x,y)=−y(x2+y2)3/2fy(−3,4)=−4125\begin{aligned} f_x(x,y)&=-\frac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_x(-3,4)&=\frac{3}{125}\\ f_y(x,y)&=-\frac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}} & f_y(-3,4)&=-\frac{4}{125} \end{aligned}

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