편도함수 연습문제 — CLP-3 · 2.2절 · 8번

CLP-3 · 2.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

$u = x^2 + yz$ , $x = \rho r \cos(\theta)$ , $y = \rho r \sin(\theta)$ , $z = \rho r$ 라고 하자. 점 $(\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)$ 에서 $\frac{\partial u}{\partial r}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $u = x^2 + yz$ , $x = \rho r \cos(\theta)$ , $y = \rho r \sin(\theta)$ and $z = \rho r$ . Find $\frac{\partial u}{\partial r}$ at the point $(\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수

$\begin{aligned} u(\rho, r,\theta) &= \big[\rho r\cos\theta\big]^2 +\big[\rho r\sin\theta\big] \rho r \\ &=\rho^2 r^2\cos^2\theta +\rho^2 r^2\sin\theta \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(\rho, r,\theta) &=2 \rho^2 r\cos^2\theta +2 \rho^2 r\sin\theta \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(2, 3,\pi/2) &=2 (2^2) (3) (0)^2 +2 (2^2) (3) (1) =24 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function

$\begin{aligned} u(\rho, r,\theta) &= \big[\rho r\cos\theta\big]^2 +\big[\rho r\sin\theta\big] \rho r \\ &=\rho^2 r^2\cos^2\theta +\rho^2 r^2\sin\theta \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(\rho, r,\theta) &=2 \rho^2 r\cos^2\theta +2 \rho^2 r\sin\theta \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial r}(2, 3,\pi/2) &=2 (2^2) (3) (0)^2 +2 (2^2) (3) (1) =24 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.2절 · 9번우리말 번역

미분계수의 정의를 이용하여 다음 함수에 대해 $f_x(0,0)$ 과 $f_y(0,0)$ 의 값을 구하세요.

$f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{$x\ne y$ 이면}\\ 0&\text{$x=y$ 이면} \end{cases}$

다 풀었으면 정답 확인

정의에 의해

$f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} \qquad f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$

이다. $x_0=y_0=0$ 을 대입하면

$\begin{aligned} f_x(0,0)&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(\Delta x,0)}{\Delta x} &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((\Delta x)^2-2\times0^2)/(\Delta x-0)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}1 =1\\ f_y(0,0)&=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(0,\Delta y)}{\Delta y} &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{(0^2-2(\Delta y)^2)/(0-\Delta y)}{\Delta y} \\ &=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}2 =2 \end{aligned}$

이다.

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