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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

편도함수

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

α>0\alpha >0 를 상수라 하자. u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} 가 열방정식

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

을 모든 t>0t>0 에 대해 만족함을 보이세요.

영어 원문 보기

Let α>0\alpha >0 be a constant. Show that u(x,y,z,t)=1t3/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\displaystyle u(x,y,z,t) =\frac{1}{t^{3/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} satisfies the heat equation

ut=α(uxx+uyy+uzz)u_t = \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big)

for all t>0t>0

정답·풀이 보기

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

이므로 다음을 얻는다.

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

As

ut(x,y,z,t)=−321t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+14α t7/2(x2+y2+z2)e−(x2+y2+z2)/(4αt)ux(x,y,z,t)=−x2α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uxx(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uyy(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+y24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)uzz(x,y,z,t)=−12α t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+z24α2 t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)\begin{aligned} u_t(x,y,z,t) &=-\frac{3}{2}\frac{1}{t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{1}{4\alpha \,t^{7/2}}(x^2+y^2+z^2) e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_x(x,y,z,t) &=-\frac{x}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{xx}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{yy}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{y^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \\ u_{zz}(x,y,z,t) &=-\frac{1}{2\alpha \,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{z^2}{4\alpha ^2\,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} \end{aligned}

we have

α(uxx+uyy+uzz)=−32 t5/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)+x2+y2+z24α t7/2e−(x2+y2+z2)/(4αt)=ut\begin{aligned} \alpha \big(u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \big) &=-\frac{3}{2\,t^{5/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} +\frac{x^2+y^2+z^2}{4\alpha \,t^{7/2}} e^{-(x^2+y^2+z^2)/(4\alpha t)} =u_t \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.3절 · 6번우리말 번역

mm 이 양의 정수일 때, f(r,θ)=rmcos⁡mθf(r,\theta)=r^m\cos m\theta 를 rr 과 θ\theta 의 함수라 하자.

(a) 이계편도함수 frrf_{rr}, frθf_{r\theta}, fθθf_{\theta\theta} 를 구하고, (r,θ)=(1,0)(r,\theta)=(1,0) 에서 각각의 값을 구하세요. (b) f(r,θ)f(r,\theta) 가 미분방정식

frr+λrfr+1r2fθθ=0f_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta}=0

을 만족하도록 실수 λ\lambda 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 일계편도함수는 다음과 같다.

fr(r,θ)=mrm−1cos⁡mθfθ(r,θ)=−mrmsin⁡mθf_r(r,\theta)=mr^{m-1}\cos m\theta\qquad f_\theta(r,\theta)=-mr^m\sin m\theta

이계편도함수는 다음과 같다.

frr(r,θ)=m(m−1)rm−2cos⁡mθfrθ(r,θ)=−m2rm−1sin⁡mθfθθ(r,θ)=−m2rmcos⁡mθf_{rr}(r,\theta)=m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta\quad f_{r\theta}(r,\theta)=-m^2r^{m-1}\sin m\theta\quad f_{\theta\theta}(r,\theta)=-m^2r^m\cos m\theta

따라서

frr(1,0)=m(m−1), frθ(1,0)=0, fθθ(1,0)=−m2f_{rr}(1,0)=m(m-1),\ f_{r\theta}(1,0)=0,\ f_{\theta\theta}(1,0)=-m^2

(b) (a)에 의해 식

frr+λrfr+1r2fθθ=m(m−1)rm−2cos⁡mθ+λmrm−2cos⁡mθ−m2rm−2cos⁡mθf_{rr}+\frac{\lambda }{r}f_r+\frac{1}{r^2}f_{\theta\theta} =m(m-1)r^{m-2}\cos m\theta+\lambda mr^{m-2}\cos m\theta-m^2r^{m-2}\cos m\theta

이 모든 rr 와 θ\theta 에 대해 0이 될 필요충분조건은 다음과 같다.

m(m−1)+λm−m2=0  ⟺  m(λ−1)=0  ⟺  λ=1m(m-1)+\lambda m-m^2=0\iff m(\lambda -1)=0\iff \lambda =1

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