빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 논증에서 잘못된 점은 무엇인가요? w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) 이고 z=g(x,y)z=g(x,y) 라고 하자. 연쇄 법칙에 의해

∂w∂x=∂w∂x∂x∂x+∂w∂y∂y∂x+∂w∂z∂z∂x=∂w∂x+∂w∂z∂z∂x\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} \end{aligned}

이다. 따라서 0=∂w∂z∂z∂x0=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} 이고, 그러므로 ∂w∂z=0\frac{\partial w}{\partial z}=0 또는 ∂z∂x=0\frac{\partial z}{\partial x}=0 이다.

영어 원문 보기

What is wrong with the following argument? Suppose that w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) and z=g(x,y)z=g(x,y). By the chain rule,

∂w∂x=∂w∂x∂x∂x+∂w∂y∂y∂x+∂w∂z∂z∂x=∂w∂x+∂w∂z∂z∂x\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial w}{\partial x} +\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} \end{aligned}

Hence 0=∂w∂z∂z∂x0=\frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} and so ∂w∂z=0\frac{\partial w}{\partial z}=0 or ∂z∂x=0\frac{\partial z}{\partial x}=0.

정답·풀이 보기

문제는 같은 등식 안에서 ∂w∂x\frac{\partial w}{\partial x} 가 서로 완전히 다른 두 함수를 나타내는 데 쓰였다는 점이다. 이 식을 정확하게 쓰는 방법은 다음과 같다. f(x,y,z)f(x,y,z) 와 g(x,y)g(x,y) 를 연속적으로 미분가능한 함수라 하고 w(x,y)=f(x,y,g(x,y))w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big) 로 정의하자. 연쇄 법칙에 의해

∂w∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))∂x∂x+∂f∂y(x,y,g(x,y))∂y∂x+∂f∂z(x,y,g(x,y))∂g∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))+∂f∂z(x,y,g(x,y))∂g∂x(x,y)\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x}(x,y) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big) +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) \end{aligned}

이다. w(x,y)=f(x,y,g(x,y))w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big) 이지만 ∂w∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))\frac{\partial w}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big) 는 성립하지 않는다. 예를 들어 f(x,y,z)=x−zf(x,y,z)=x-z 이고 g(x,y)=xg(x,y)=x 라 하자. 그러면 모든 (x,y)(x,y) 에 대해 w(x,y)=f(x,y,g(x,y))=x−g(x,y)=0w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big)=x-g(x,y)=0 이므로 ∂w∂x(x,y)=0\frac{\partial w}{\partial x}(x,y)=0 인 반면, 모든 (x,y,z)(x,y,z) 에 대해 ∂f∂x(x,y,z)=1\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The problem is that ∂w∂x\frac{\partial w}{\partial x} is used to represent two completely different functions in the same equation. The careful way to write the equation is the following. Let f(x,y,z)f(x,y,z) and g(x,y)g(x,y) be continuously differentiable functions and define w(x,y)=f(x,y,g(x,y))w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big). By the chain rule,

∂w∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))∂x∂x+∂f∂y(x,y,g(x,y))∂y∂x+∂f∂z(x,y,g(x,y))∂g∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))+∂f∂z(x,y,g(x,y))∂g∂x(x,y)\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x}(x,y) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial y}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\\ &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big) +\frac{\partial f}{\partial z}\big(x,y,g(x,y)\big) \frac{\partial g}{\partial x}(x,y) \end{aligned}

While w(x,y)=f(x,y,g(x,y))w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big), it is not true that ∂w∂x(x,y)=∂f∂x(x,y,g(x,y))\frac{\partial w}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial f}{\partial x}\big(x,y,g(x,y)\big). For example, take f(x,y,z)=x−zf(x,y,z)=x-z and g(x,y)=xg(x,y)=x. Then w(x,y)=f(x,y,g(x,y))=x−g(x,y)=0w(x,y)=f\big(x,y,g(x,y)\big)=x-g(x,y)=0 for all (x,y)(x,y), so that ∂w∂x(x,y)=0\frac{\partial w}{\partial x}(x,y)=0 while ∂f∂x(x,y,z)=1\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=1 for all (x,y,z)(x,y,z).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 6번우리말 번역

연쇄 법칙을 이용하는 방법을 포함하여 두 가지 방법으로 ∂w∂s\frac{\partial w}{\partial s} 와 ∂w∂t\frac{\partial w}{\partial t} 의 값을 구하세요. 단, 함수 w=x2+y2+z2w=x^2+y^2+z^2 이고 x=st, y=scos⁡tx=st,\ y=s\cos t, z=ssin⁡tz=s\sin t 입니다.

다 풀었으면 정답 확인

방법 1: w(s,t)=x(s,t)2+y(s,t)2+z(s,t)2w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2 이고 x(s,t)=stx(s,t)=st, y(s,t)=scos⁡ty(s,t)=s\cos t, z(s,t)=ssin⁡tz(s,t)=s\sin t 이므로 w(s,t)w(s,t) 를 명시적으로 나타낼 수 있다:

w(s,t)=(st)2+(scos⁡t)2+(ssin⁡t)2=s2(t2+1)  ⟹  ws(s,t)=2s(t2+1)그리고wt(s,t)=s2(2t)\begin{aligned} w(s,t)&=(st)^2+(s\cos t)^2+(s\sin t)^2 =s^2(t^2+1)\\ \implies w_s(s,t)&=2s(t^2+1)\qquad\text{그리고}\qquad w_t(s,t)=s^2(2t) \end{aligned}

  • 방법 2:* 문제에서 w(s,t)=x(s,t)2+y(s,t)2+z(s,t)2w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2 이고 x(s,t)=stx(s,t)=st, y(s,t)=scos⁡ty(s,t)=s\cos t, z(s,t)=ssin⁡tz(s,t)=s\sin t 로 주어졌다. 즉, w(s,t)=W(x(s,t),y(s,t),z(s,t))w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big) 이며 W(x,y,z)=x2+y2+z2W(x,y,z)= x^2+y^2+z^2 이다. w(s,t)=W(x(s,t),y(s,t),z(s,t))w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big) 에 연쇄 법칙을 적용하고 ∂W∂x=2x\frac{\partial W}{\partial x}=2x, ∂W∂y=2y\frac{\partial W}{\partial y}=2y, ∂W∂z=2z\frac{\partial W}{\partial z}=2z 임을 이용하면 다음을 얻는다.

∂w∂s(s,t)=∂W∂x(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂x∂s(s,t)+∂W∂y(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂y∂s(s,t)+∂W∂z(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂z∂s(s,t)=2x(s,t) xs(s,t)+2y(s,t) ys(s,t)+2z(s,t) zs(s,t)=2(st) t+2(scos⁡t) cos⁡t+2(ssin⁡t) sin⁡t=2st2+2s∂w∂t(s,t)=∂W∂x(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂x∂t(s,t)+∂W∂y(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂y∂t(s,t)+∂W∂z(x(s,t),y(s,t),z(s,t))∂z∂t(s,t)=2x(s,t) xt(s,t)+2y(s,t) yt(s,t)+2z(s,t) zt(s,t)=2(st) s+2(scos⁡t) (−ssin⁡t)+2(ssin⁡t) (scos⁡t)=2s2t\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial s}(s,t) &= \frac{\partial W}{\partial x}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial x}{\partial s}(s,t) + \frac{\partial W}{\partial y}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial y}{\partial s}(s,t)\\& + \frac{\partial W}{\partial z}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial z}{\partial s}(s,t) \\ &=2 x(s,t)\ x_s(s,t)+2 y(s,t)\ y_s(s,t)+2 z(s,t)\ z_s(s,t) \\ &=2 (st)\ t+2 (s\cos t)\ \cos t+2 (s\sin t)\ \sin t\\ &=2 st^2+2 s\\ \frac{\partial w}{\partial t}(s,t) &= \frac{\partial W}{\partial x}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial x}{\partial t}(s,t) + \frac{\partial W}{\partial y}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial y}{\partial t}(s,t)\\& + \frac{\partial W}{\partial z}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial z}{\partial t}(s,t) \\ &=2 x(s,t)\ x_t(s,t)+2 y(s,t)\ y_t(s,t)+2 z(s,t)\ z_t(s,t)\\ &=2 (st)\ s+2 (s\cos t)\ (-s\sin t)+2 (s\sin t)\ (s\cos t)\\ &=2 s^2t \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 다변수 연쇄법칙계산기본자동 분류

「다변수 연쇄법칙」 문제 목록으로