다변수 연쇄법칙 연습문제 — CLP-3 · 2.4절 · 6번

CLP-3 · 2.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

연쇄 법칙을 이용하는 방법을 포함하여 두 가지 방법으로 $\frac{\partial w}{\partial s}$ 와 $\frac{\partial w}{\partial t}$ 의 값을 구하세요. 단, 함수 $w=x^2+y^2+z^2$ 이고 $x=st,\ y=s\cos t$ , $z=s\sin t$ 입니다.

영어 원문 보기

Use two methods (one using the chain rule) to evaluate $\frac{\partial w}{\partial s}$ and $\frac{\partial w}{\partial t}$ given that the function $w=x^2+y^2+z^2$ , with $x=st,\ y=s\cos t$ and $z=s\sin t$ .

정답·풀이 보기

방법 1: $w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2$ 이고 $x(s,t)=st$ , $y(s,t)=s\cos t$ , $z(s,t)=s\sin t$ 이므로 $w(s,t)$ 를 명시적으로 나타낼 수 있다:

$\begin{aligned} w(s,t)&=(st)^2+(s\cos t)^2+(s\sin t)^2 =s^2(t^2+1)\\ \implies w_s(s,t)&=2s(t^2+1)\qquad\text{그리고}\qquad w_t(s,t)=s^2(2t) \end{aligned}$

방법 2:* 문제에서 $w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2$ 이고 $x(s,t)=st$ , $y(s,t)=s\cos t$ , $z(s,t)=s\sin t$ 로 주어졌다. 즉, $w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)$ 이며 $W(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$ 이다. $w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)$ 에 연쇄 법칙을 적용하고 $\frac{\partial W}{\partial x}=2x$ , $\frac{\partial W}{\partial y}=2y$ , $\frac{\partial W}{\partial z}=2z$ 임을 이용하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial s}(s,t) &= \frac{\partial W}{\partial x}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial x}{\partial s}(s,t) + \frac{\partial W}{\partial y}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial y}{\partial s}(s,t)\\& + \frac{\partial W}{\partial z}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial z}{\partial s}(s,t) \\ &=2 x(s,t)\ x_s(s,t)+2 y(s,t)\ y_s(s,t)+2 z(s,t)\ z_s(s,t) \\ &=2 (st)\ t+2 (s\cos t)\ \cos t+2 (s\sin t)\ \sin t\\ &=2 st^2+2 s\\ \frac{\partial w}{\partial t}(s,t) &= \frac{\partial W}{\partial x}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial x}{\partial t}(s,t) + \frac{\partial W}{\partial y}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial y}{\partial t}(s,t)\\& + \frac{\partial W}{\partial z}\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)\frac{\partial z}{\partial t}(s,t) \\ &=2 x(s,t)\ x_t(s,t)+2 y(s,t)\ y_t(s,t)+2 z(s,t)\ z_t(s,t)\\ &=2 (st)\ s+2 (s\cos t)\ (-s\sin t)+2 (s\sin t)\ (s\cos t)\\ &=2 s^2t \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Method 1: Since $w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2$ with $x(s,t)=st$ , $y(s,t)=s\cos t$ and $z(s,t)=s\sin t$ we can write out $w(s,t)$ explicitly:

$\begin{aligned} w(s,t)&=(st)^2+(s\cos t)^2+(s\sin t)^2 =s^2(t^2+1)\\ \implies w_s(s,t)&=2s(t^2+1)\qquad\text{and}\qquad w_t(s,t)=s^2(2t) \end{aligned}$

Method 2:* The question specifies that $w(s,t)=x(s,t)^2+y(s,t)^2+z(s,t)^2$ with $x(s,t)=st$ , $y(s,t)=s\cos t$ and $z(s,t)=s\sin t$ . That is, $w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)$ with $W(x,y,z)= x^2+y^2+z^2$ . Applying the chain rule to $w(s,t) = W\big(x(s,t), y(s,t), z(s,t)\big)$ and noting that $\frac{\partial W}{\partial x}=2x$ , $\frac{\partial W}{\partial y}=2y$ , $\frac{\partial W}{\partial z}=2z$ , gives

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 7번우리말 번역

$\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy)$ 의 값을 $f$ 의 편도함수로 나타내어 구하세요. 연쇄 법칙과, 혼합 편도함수가 서로 같음을 나타내는 클레로의 정리를 적용할 수 있도록 $f$ 는 매끄러운 함수라고 가정해도 됩니다.

다 풀었으면 정답 확인

정의에 따라

$\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy) =\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial y}f(2x+3y,xy)\right) \right]$

이다.

안쪽부터 차례로 편도함수를 계산한다. $F(x,y)=f(2x+3y,xy)$ 라 하면 가장 안쪽의 편도함수는 $G(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}f(2x+3y,xy)=\frac{\partial }{\partial y}F(x,y)$ 이다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} G(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}F(x,y) &=f_1(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(2x+3y)+f_2(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(xy) \\ &= 3f_1(2x+3y,xy)+xf_2(2x+3y,xy) \end{aligned}$

이다.

여기서 아래첨자 $1$ 은 두 번째 변수를 고정한 채 $f$ 를 첫 번째 변수에 대해 편미분한다는 뜻이고, 아래첨자 $2$ 는 첫 번째 변수를 고정한 채 $f$ 를 두 번째 변수에 대해 편미분한다는 뜻이다. 다음으로 가운데 편도함수를 $H(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial }{\partial y}f(2x+3y,xy)\right)$ 라 하면

$\begin{aligned} H(x,y) &= \frac{\partial }{\partial y} G(x,y) \\ &=\frac{\partial }{\partial y}\Big(3f_1(2x+3y,xy)+xf_2(2x+3y,xy)\Big) \\ &=3\frac{\partial }{\partial y}\Big(f_1(2x+3y,xy)\Big) +x\frac{\partial }{\partial y}\Big(f_2(2x+3y,xy)\Big) \end{aligned}$

이다.

연쇄 법칙을 (두 번) 쓰면

$\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial y}\Big(f_1(2x+3y,xy)\Big) &=f_{11}(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(2x+3y)+f_{12}(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(xy) \\ &= 3f_{11}(2x+3y,xy)+xf_{12}(2x+3y,xy) \\ \frac{\partial }{\partial y}\Big(f_2(2x+3y,xy)\Big) &=f_{21}(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(2x+3y)+f_{22}(2x+3y,xy)\frac{\partial }{\partial y}(xy) \\ &= 3f_{21}(2x+3y,xy)+xf_{22}(2x+3y,xy) \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} H(x,y)&=3\Big(3f_{11}(2x+3y,xy)+xf_{12}(2x+3y,xy) \Big) \\[-0.05in] & +x\Big(3f_{21}(2x+3y,xy)+xf_{22}(2x+3y,xy)\Big) \\ &=9f_{11}(2x+3y,xy)+6xf_{12}(2x+3y,xy)+x^2f_{22}(2x+3y,xy) \end{aligned}$

이다.

마지막 등호에서는 $f_{21}(2x+3y,xy)=f_{12}(2x+3y,xy)$ 임을 이용했다. 기호 $f_{21}$ 은 먼저 두 번째 변수에 대해 미분한 다음 첫 번째 변수에 대해 미분한다는 뜻이다. 예를 들어 $f(x,y)=e^{2y}\sin x$ 이면

$\begin{aligned} f_{21}(x,y) =\frac{\partial }{\partial x} \Big[\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{2y}\sin x\big)\Big] =\frac{\partial }{\partial x} \Big[2e^{2y}\sin x\Big] =2e^y\cos x \end{aligned}$

이다.

마지막으로

$\begin{aligned} \frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy) &=\frac{\partial }{\partial x} H(x,y) \\ &=\frac{\partial }{\partial x}\Big(9f_{11}(2x+3y,xy)+6xf_{12}(2x+3y,xy)+x^2f_{22}(2x+3y,xy)\Big)\\ &=9\frac{\partial }{\partial x}\Big(f_{11}(2x+3y,xy)\Big)\\& +6f_{12}(2x+3y,xy) +6x\frac{\partial }{\partial x}\Big(f_{12}(2x+3y,xy)\Big) \\& +2xf_{22}(2x+3y,xy) +x^2\frac{\partial }{\partial x}\Big(f_{22}(2x+3y,xy)\Big) \end{aligned}$

이다.

연쇄 법칙을 세 번 적용하면

$\begin{aligned} \frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}f(2x+3y,xy) &=9\Big(2f_{111}+yf_{112}\Big)\\& +6f_{12}+6x\Big(2f_{121}+yf_{122}\Big)\\& +2xf_{22}+x^2\Big(2f_{221}+yf_{222}\Big)\\ &=6\,f_{12}+2x\,f_{22}+18\,f_{111}+(9y+12x)\,f_{112} +(6xy+2x^2)\,f_{122}+x^2y\,f_{222} \end{aligned}$

이다.

우변의 모든 함수의 인수는 $(2x+3y,xy)$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류