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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

g(s,t)=f(2s+3t,3s−2t)g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t) 의 모든 이계도함수를 구하세요. f(x,y)f(x,y) 는 매끄러운 함수이므로 연쇄 법칙과 혼합 편도함수의 같음에 관한 클레로의 정리가 적용된다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

Find all second order derivatives of g(s,t)=f(2s+3t,3s−2t)g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t). You may assume that f(x,y)f(x,y) is a smooth function so that the Chain Rule and Clairaut's Theorem on the equality of the mixed partial derivatives apply.

정답·풀이 보기

주어진 함수는

g(s,t)=f(2s+3t,3s−2t)g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)

이다.

일계도함수는

gs(s,t)=2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t)gt(s,t)=3f1(2s+3t,3s−2t)−2f2(2s+3t,3s−2t)\begin{aligned} g_s(s,t)&=2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\\ g_t(s,t)&=3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}

이다.

이계도함수는

gss(s,t)=∂∂s(2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t))=2(2f11+3f12)+3(2f21+3f22)=4f11+6f12+6f21+9f22=4f11(2s+3t,3s−2t)+12f12(2s+3t,3s−2t)+9f22(2s+3t,3s−2t)gst(s,t)=∂∂t(2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t))=2(3f11−2f12)+3(3f21−2f22)=6f11(2s+3t,3s−2t)+5f12(2s+3t,3s−2t)−6f22(2s+3t,3s−2t)gtt(s,t)=∂∂t(3f1(2s+3t,3s−2t)−2f2(2s+3t,3s−2t))=3(3f11−2f12)−2(3f21−2f22)=9f11(2s+3t,3s−2t)−12f12(2s+3t,3s−2t)+4f22(2s+3t,3s−2t)\begin{aligned} g_{ss}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(2f_{11}+3f_{12}\Big) +3\Big(2f_{21}+3f_{22}\Big)\\ &=4f_{11}+6f_{12}+6f_{21}+9f_{22}\\ &=4f_{11}(2s+3t,3s-2t)+12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+9f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{st}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) +3\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=6f_{11}(2s+3t,3s-2t)+5f_{12}(2s+3t,3s-2t)-6f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{tt}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=3\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) -2\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=9f_{11}(2s+3t,3s-2t)-12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+4f_{22}(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}

이다.

여기서 f1f_1 은 ff 를 첫 번째 변수에 대해 편미분한 편도함수를 뜻하고, f12f_{12} 는 ff 를 먼저 첫 번째 변수에 대해 편미분한 다음 그 결과를 두 번째 변수에 대해 편미분한 것이며, 나머지도 같은 방식이다.

원본 교재 풀이(영어)

The given function is

g(s,t)=f(2s+3t,3s−2t)g(s,t)=f(2s+3t,3s-2t)

The first order derivatives are

gs(s,t)=2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t)gt(s,t)=3f1(2s+3t,3s−2t)−2f2(2s+3t,3s−2t)\begin{aligned} g_s(s,t)&=2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\\ g_t(s,t)&=3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}

The second order derivatives are

gss(s,t)=∂∂s(2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t))=2(2f11+3f12)+3(2f21+3f22)=4f11+6f12+6f21+9f22=4f11(2s+3t,3s−2t)+12f12(2s+3t,3s−2t)+9f22(2s+3t,3s−2t)gst(s,t)=∂∂t(2f1(2s+3t,3s−2t)+3f2(2s+3t,3s−2t))=2(3f11−2f12)+3(3f21−2f22)=6f11(2s+3t,3s−2t)+5f12(2s+3t,3s−2t)−6f22(2s+3t,3s−2t)gtt(s,t)=∂∂t(3f1(2s+3t,3s−2t)−2f2(2s+3t,3s−2t))=3(3f11−2f12)−2(3f21−2f22)=9f11(2s+3t,3s−2t)−12f12(2s+3t,3s−2t)+4f22(2s+3t,3s−2t)\begin{aligned} g_{ss}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(2f_{11}+3f_{12}\Big) +3\Big(2f_{21}+3f_{22}\Big)\\ &=4f_{11}+6f_{12}+6f_{21}+9f_{22}\\ &=4f_{11}(2s+3t,3s-2t)+12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+9f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{st}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(2f_1(2s+3t,3s-2t)+3f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=2\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) +3\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=6f_{11}(2s+3t,3s-2t)+5f_{12}(2s+3t,3s-2t)-6f_{22}(2s+3t,3s-2t)\\ g_{tt}(s,t)&=\frac{\partial }{\partial t}\Big(3f_1(2s+3t,3s-2t)-2f_2(2s+3t,3s-2t)\Big)\\ &=3\Big(3f_{11}-2f_{12}\Big) -2\Big(3f_{21}-2f_{22}\Big)\\ &=9f_{11}(2s+3t,3s-2t)-12f_{12}(2s+3t,3s-2t)+4f_{22}(2s+3t,3s-2t) \end{aligned}

Here f1f_1 denotes the partial derivative of ff with respect to its first argument, f12f_{12} is the result of first taking one partial derivative of ff with respect to its first argument and then taking a partial derivative with respect to its second argument, and so on.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.5절 · 39번우리말 번역

직원뿔의 반지름은 33 cm/min 의 비율로 증가하고, 원뿔의 높이는 22 cm/min 의 비율로 감소하고 있습니다. 반지름이 1313 cm 이고 높이가 1818 cm 일 때, 원뿔의 부피의 변화율을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

dVdt=1066π3cm3/min⁡\frac{dV}{dt}=\frac{1066\pi }{3}{\text{cm}}^{3}/\min

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