다변수 연쇄법칙

이 문제의 표기는 매우 좋지 않다. 기호 $z$ 가 한 등식 안에서 두 가지 다른 뜻으로 쓰였기 때문이다. 좌변에서는 $x$ 와 $y$ 의 함수이고, 우변에서는 $s$ 와 $t$ 의 함수이다. 안타깝게도 이러한 표기의 남용은 매우 흔하다. $s$ 와 $t$ 의 함수를 $F(s,t)$ 로 바꾸어 표기의 충돌을 없애자. 즉,

$$F(s,t) = f\big(2s+t\,,\,s-t\big)$$

이 새 표기에서는 다음이 성립하도록 $a$, $b$, $c$ 를 구하면 된다.

$$\begin{aligned} a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +b\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &=\frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} \end{aligned}$$

여기서 우변의 인수는 $(s,t)$ 이고 좌변의 인수는 $\big(2s+t\,,\,s-t\big)$ 이다.

연쇄 법칙에 의해

$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial s}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial s}(s-t) \\ &= 2\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial s^2}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] + \frac{\partial }{\partial s}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right]\\ &= 4\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) + 2\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}$$

이고

$$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial t}(s,t)&= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(2s+t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\frac{\partial }{\partial t}(s-t)\\ &= \frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(s,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] -\frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}\big(2s+t\,,\,s-t\big)\right] \\ &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) -\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \\ & -\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \big(2s+t\,,\,s-t\big) +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\big(2s+t\,,\,s-t\big) \end{aligned}$$

이다. 인수를 생략하면

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 F}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}$$

이다. 마지막으로 문제의 (좋지 않은) 표기로 되돌리면

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial s^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} &=5\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} +2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} +2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{aligned}$$

이므로 $a=5$ 이고 $b=c=2$ 이다.