다변수 연쇄법칙 연습문제 — CLP-3 · 2.4절 · 14번

CLP-3 · 2.4절 · 14번대학 수준우리말 번역

$w = f (xz, yz)$ 라고 하자. 여기서 $f$ 는 미분가능한 함수이다. 다음을 보여라.

$x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} = z\frac{\partial w}{\partial z}$

영어 원문 보기

Suppose that $w = f (xz, yz)$ , where $f$ is a differentiable function. Show that

$x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} = z\frac{\partial w}{\partial z}$

정답·풀이 보기

먼저 $w(x,y,z)$ 의 1계 편도함수를 구한다. $u(x,y,z)=xz$ , $v(x,y,z)=yz$ 라 하면 $w(x,y,z) = f\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)$ 이다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial x}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z) \\ &=z\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) \\ \frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial y}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial y}(x,y,z) \\ &=z\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) \\ \frac{\partial w}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial z}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial z}(x,y,z) \\ &=x\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + y\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} =xz\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + yz\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) =z\left[x\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + y\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz)\right] =z\frac{\partial w}{\partial z} \end{aligned}$

이므로 주어진 등식이 성립한다.

원본 교재 풀이(영어)

We'll first compute the first order partial derivatives of $w(x,y,z)$ . Write $u(x,y,z)=xz$ and $v(x,y,z)=yz$ so that $w(x,y,z) = f\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)$ . By the chain rule,

as desired.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 22번우리말 번역

정의에 따르면, 미분가능한 함수 $f(x,y)$ 의 점 $\big( x_0\,,\,y_0\big)$ 에서의 기울기 벡터는 다음과 같다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x_0,y_0) =\left< \frac{\partial f}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\big)\,,\, \frac{\partial f}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\big)\right>$

다음을 알고 있다고 하자.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(3,6)=\left< 7,8\right>$

또한

${ \boldsymbol{\nabla} } g(1,2)=\left< -1,4\right>,$

이고

${ \boldsymbol{\nabla} } h(1,2)=\left< -5,10\right>.$

이라고 하자.

$g(1,2)=3$ , $h(1,2)=6$ 이고 $z(s,t)=f\big(g(s,t),h(s,t)\big)$ 일 때, 다음을 구하세요.

${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)$

다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(s,t) \\ \frac{\partial z}{\partial t}(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}f\big(g(s,t),h(s,t)\big) &&=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(s,t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(s,t),h(s,t)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(s,t) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial s}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=\frac{\partial f}{\partial x}(3,6) \frac{\partial g}{\partial s}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}(3,6)) \frac{\partial h}{\partial s}(1,2) \\ &=7\times(-1)+8\times(-5) =-47\\ \frac{\partial z}{\partial t}(1,2) &=\frac{\partial f}{\partial x}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial g}{\partial t}(1,2) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(g(1,2),h(1,2)\big) \frac{\partial h}{\partial t}(1,2) \\ &=7\times4+8\times 10 =108 \end{aligned}$

따라서 ${ \boldsymbol{\nabla} } z(1,2)=\left< -47,108\right>$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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