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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수 연쇄법칙

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.4절 · 15번대학 수준우리말 번역

z=f(x,y)z = f (x, y) 가 연속인 이계 편도함수를 갖고, x=rcos⁡tx = r \cos t, y=rsin⁡ty = r \sin t 라 하자. 다음 편도함수를 rr, tt, 그리고 ff 의 편도함수로 나타내세요.

(a) ∂z∂t\frac{\partial z}{\partial t} (b) ∂2z∂t2\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}

영어 원문 보기

Suppose z=f(x,y)z = f (x, y) has continuous second order partial derivatives, and x=rcos⁡tx = r \cos t, y=rsin⁡ty = r \sin t. Express the following partial derivatives in terms rr, tt, and partial derivatives of ff.

(a) ∂z∂t\frac{\partial z}{\partial t} (b) ∂2z∂t2\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}

정답·풀이 보기

정의에 의해 z(r,t)=f(rcos⁡t , rsin⁡t)z(r,t) = f(r\cos t\,,\,r\sin t) 이다.

(a) 연쇄 법칙에 의해

∂z∂t(r,t)=∂∂t[f(rcos⁡t , rsin⁡t)]=∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)∂∂t(rcos⁡t)+∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)∂∂t(rsin⁡t)=−rsin⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)+rcos⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial t}(r,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\Big[f(r\cos t\,,\,r\sin t)\Big] \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\cos t) +\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\sin t) \\ &= -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \end{aligned}

(b) 선형성, 곱의 미분법, 연쇄 법칙에 의해

∂2z∂t2(r,t)=−∂∂t[rsin⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)]+∂∂t[rcos⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)]=−rcos⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)−rsin⁡t ∂∂t[∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)]−rsin⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)+rcos⁡t ∂∂t[∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)]=−rcos⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)+r2sin⁡2t ∂2f∂x2(rcos⁡t , rsin⁡t)−r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂y∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)=−rsin⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)−r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂x∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)+r2cos⁡2t ∂2f∂y2(rcos⁡t , rsin⁡t)=−rcos⁡t ∂f∂x−rsin⁡t ∂f∂y+r2sin⁡2t ∂2f∂x2−2r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂x∂y+r2cos⁡2t ∂2f∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(r,t) &= -\frac{\partial }{\partial t}\left[r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] +\frac{\partial }{\partial t}\left[r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r\sin t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ & -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &\phantom{=}-r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x} -r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y} \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -2r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}

여기서 ff 의 모든 편도함수는 (rcos⁡t , rsin⁡t)(r\cos t\,,\,r\sin t) 에서의 값이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition z(r,t)=f(rcos⁡t , rsin⁡t)z(r,t) = f(r\cos t\,,\,r\sin t).

(a) By the chain rule

∂z∂t(r,t)=∂∂t[f(rcos⁡t , rsin⁡t)]=∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)∂∂t(rcos⁡t)+∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)∂∂t(rsin⁡t)=−rsin⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)+rcos⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial t}(r,t) &= \frac{\partial }{\partial t}\Big[f(r\cos t\,,\,r\sin t)\Big] \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\cos t) +\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\frac{\partial }{\partial t}(r\sin t) \\ &= -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \end{aligned}

(b) By linearity, the product rule and the chain rule

∂2z∂t2(r,t)=−∂∂t[rsin⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)]+∂∂t[rcos⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)]=−rcos⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)−rsin⁡t ∂∂t[∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)]−rsin⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)+rcos⁡t ∂∂t[∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)]=−rcos⁡t ∂f∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)+r2sin⁡2t ∂2f∂x2(rcos⁡t , rsin⁡t)−r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂y∂x(rcos⁡t , rsin⁡t)=−rsin⁡t ∂f∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)−r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂x∂y(rcos⁡t , rsin⁡t)+r2cos⁡2t ∂2f∂y2(rcos⁡t , rsin⁡t)=−rcos⁡t ∂f∂x−rsin⁡t ∂f∂y+r2sin⁡2t ∂2f∂x2−2r2sin⁡tcos⁡t ∂2 f∂x∂y+r2cos⁡2t ∂2f∂y2\begin{aligned} \frac{\partial^2 z}{\partial t^2}(r,t) &= -\frac{\partial }{\partial t}\left[r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] +\frac{\partial }{\partial t}\left[r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t\ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r\sin t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ & -r\sin t\ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r\cos t\ \frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t)\right] \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial y\partial x}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &\phantom{=}-r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ & -r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y}(r\cos t\,,\,r\sin t) +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(r\cos t\,,\,r\sin t) \\ &= -r\cos t \ \frac{\partial f}{\partial x} -r\sin t \ \frac{\partial f}{\partial y} \\ & +r^2\sin^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} -2r^2\sin t\cos t\ \frac{\partial^2\ f}{\partial x\partial y} +r^2\cos^2 t\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{aligned}

with all of the partial derivatives of ff evaluated at (rcos⁡t , rsin⁡t)(r\cos t\,,\,r\sin t).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 25번우리말 번역

f(u,v)f(u,v) 를 미분가능한 함수라 하고, u=x+yu=x+y , v=x−yv=x-y 라 하자. 다음을 만족하는 상수 α\alpha 를 구하세요.

(fx)2+(fy)2=α((fu)2+(fv)2)\begin{aligned} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{aligned}

다 풀었으면 정답 확인

이 문제는 나쁜(그러나 흔히 쓰는) 표기를 사용하고 있다. 하나의 기호 ff 가 서로 다른 두 함수, 즉 f(u,v)f(u,v) 와 f(x,y)=f(u,v)∣u=x+y,v=x−yf(x,y)=f(u,v)\big|_{u=x+y,v=x-y} 에 쓰였기 때문이다. 더 나은 표현은 다음과 같다.

  • f(u,v)f(u,v) 와 F(x,y)F(x,y) 를 F(x,y)=f(x+y,x−y)F(x,y)=f(x+y,x-y) 를 만족하는 미분가능한 함수라 하자. 다음을 만족하는 상수 α\alpha 를 구하세요.

Fx(x,y)2+Fy(x,y)2=α{fu(x+y,x−y)2+fv(x+y,x−y)2}F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2=\alpha \big\{f_u(x+y,x-y)^2+f_v(x+y,x-y)^2\big\}

연쇄 법칙에 의해

∂F∂x(x,y)=fu(x+y,x−y)∂∂x(x+y)+fv(x+y,x−y)∂∂x(x−y)=fu(x+y,x−y)+fv(x+y,x−y)∂F∂y(x,y)=fu(x+y,x−y)∂∂y(x+y)+fv(x+y,x−y)∂∂y(x−y)=fu(x+y,x−y)−fv(x+y,x−y)\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y) \end{aligned}

따라서

Fx(x,y)2+Fy(x,y)2=[fu(x+y,x−y)+fv(x+y,x−y)]2+[fu(x+y,x−y)−fv(x+y,x−y)]2=2fu(x+y,x−y)2+2fv(x+y,x−y)2\begin{aligned} F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2 &=\Big[f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\Big]^2 \\ & +\Big[f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y)\Big]^2\\ &=2f_u(x+y,x-y)^2+2f_v(x+y,x-y)^2 \end{aligned}

그러므로 α=2\alpha =2 이면 된다.

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