다변수 연쇄법칙 연습문제 — CLP-3 · 2.4절 · 25번

CLP-3 · 2.4절 · 25번대학 수준우리말 번역

$f(u,v)$ 를 미분가능한 함수라 하고, $u=x+y$ , $v=x-y$ 라 하자. 다음을 만족하는 상수 $\alpha$ 를 구하세요.

$\begin{aligned} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $f(u,v)$ be a differentiable function, and let $u=x+y$ and $v=x-y$ . Find a constant, $\alpha$ , such that

$\begin{aligned} (f_x)^2+(f_y)^2=\alpha \big((f_u)^2+(f_v)^2\big) \end{aligned}$

정답·풀이 보기

이 문제는 나쁜(그러나 흔히 쓰는) 표기를 사용하고 있다. 하나의 기호 $f$ 가 서로 다른 두 함수, 즉 $f(u,v)$ 와 $f(x,y)=f(u,v)\big|_{u=x+y,v=x-y}$ 에 쓰였기 때문이다. 더 나은 표현은 다음과 같다.

$f(u,v)$ 와 $F(x,y)$ 를 $F(x,y)=f(x+y,x-y)$ 를 만족하는 미분가능한 함수라 하자. 다음을 만족하는 상수 $\alpha$ 를 구하세요.

$F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2=\alpha \big\{f_u(x+y,x-y)^2+f_v(x+y,x-y)^2\big\}$

연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial x}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) &=f_u(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x+y) +f_v(x+y,x-y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) \\ &=f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y) \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2 &=\Big[f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\Big]^2 \\ & +\Big[f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y)\Big]^2\\ &=2f_u(x+y,x-y)^2+2f_v(x+y,x-y)^2 \end{aligned}$

그러므로 $\alpha =2$ 이면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

This question uses bad (but standard) notation, in that the one symbol $f$ is used for two different functions, namely $f(u,v)$ and $f(x,y)=f(u,v)\big|_{u=x+y,v=x-y}$ . A better wording is

Let $f(u,v)$ and $F(x,y)$ be differentiable functions such that $F(x,y)=f(x+y,x-y)$ . Find a constant, $\alpha$ , such that

$F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2=\alpha \big\{f_u(x+y,x-y)^2+f_v(x+y,x-y)^2\big\}$

By the chain rule

Hence

$\begin{aligned} F_x(x,y)^2+F_y(x,y)^2 &=\Big[f_u(x+y,x-y)+f_v(x+y,x-y)\Big]^2 \\ & +\Big[f_u(x+y,x-y)-f_v(x+y,x-y)\Big]^2\\ &=2f_u(x+y,x-y)^2+2f_v(x+y,x-y)^2 \end{aligned}$

So $\alpha =2$ does the job.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.4절 · 14번우리말 번역

$w = f (xz, yz)$ 라고 하자. 여기서 $f$ 는 미분가능한 함수이다. 다음을 보여라.

$x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} = z\frac{\partial w}{\partial z}$

다 풀었으면 정답 확인

먼저 $w(x,y,z)$ 의 1계 편도함수를 구한다. $u(x,y,z)=xz$ , $v(x,y,z)=yz$ 라 하면 $w(x,y,z) = f\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)$ 이다. 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial x}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial x}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial x}(x,y,z) \\ &=z\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) \\ \frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial y}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial y}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial y}(x,y,z) \\ &=z\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) \\ \frac{\partial w}{\partial z}(x,y,z) &= \frac{\partial }{\partial z}\big[f \big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\big]\\ &=\frac{\partial f}{\partial u}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial u}{\partial z}(x,y,z) +\frac{\partial f}{\partial v}\big(u(x,y,z), v(x,y,z)\big)\frac{\partial v}{\partial z}(x,y,z) \\ &=x\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + y\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} x\frac{\partial w}{\partial x} + y\frac{\partial w}{\partial y} =xz\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + yz\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz) =z\left[x\frac{\partial f}{\partial u}(xz, yz) + y\frac{\partial f}{\partial v}(xz, yz)\right] =z\frac{\partial w}{\partial z} \end{aligned}$

이므로 주어진 등식이 성립한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 다변수 연쇄법칙계산보통자동 분류