다변수 연쇄법칙 연습문제 — CLP-3 · 2.4절 · 20번

CLP-3 · 2.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

어떤 두 번 미분가능한 함수 $u = u(x, y)$ 에 대하여 $w(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t)$ 라 하자.

(a) $w_{ss}$ 를 $u_{xx}$ , $u_{xy}$ , $u_{yy}$ 로 나타내세요 ( $u_{xy} = u_{yx}$ 라고 가정해도 됩니다). (b) $u_{xx} + u_{yy} = 0$ 이라 하자. 상수 $A$ 가 얼마일 때 $w_{ss} = Aw_{tt}$ 가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $w(s,t) = u(2s + 3t, 3s - 2t)$ for some twice differentiable function $u = u(x, y)$ .

(a) Find $w_{ss}$ in terms of $u_{xx}$ , $u_{xy}$ , and $u_{yy}$ (you can assume that $u_{xy} = u_{yx}$ ). (b) Suppose $u_{xx} + u_{yy} = 0$ . For what constant $A$ will $w_{ss} = Aw_{tt}$ ?

정답·풀이 보기

(a) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} w_s(s,t) &=\frac{\partial }{\partial s}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial s}\big(3s - 2t\big) \\ &= 2\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) +3\,u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} w_{ss}(s,t) &= 2\frac{\partial }{\partial s}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] + 3\frac{\partial }{\partial s}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[4u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& + \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) +9u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=4\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) +12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +9\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이다.

(b) 다시 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} w_t(s,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[u(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(2s + 3t\big) +u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\frac{\partial }{\partial t}\big(3s - 2t\big) \\ &= 3\,u_x(2s + 3t, 3s - 2t) -2\, u_y(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} w_{tt}(s,t) &= 3\frac{\partial }{\partial t}\big[u_x(2s + 3t, 3s - 2t)\big] - 2\frac{\partial }{\partial t}\big[u_y(2s + 3t, 3s - 2t)\big] \\ &= \big[9u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -6u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\& - \big[6u_{yx}(2s + 3t, 3s - 2t) -4u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \big] \\ &=9\,u_{xx}(2s + 3t, 3s - 2t) -12\,u_{xy}(2s + 3t, 3s - 2t) +4\,u_{yy}(2s + 3t, 3s - 2t) \end{aligned}$

이다.

따라서 임의의 상수 $A$ 에 대해

$\begin{aligned} w_{ss} - Aw_{tt} &= (4-9A) u_{xx} +(12+12A) u_{xy} + (9-4A) u_{yy} \end{aligned}$

이다.

$u_{xx} + u_{yy}=0$ 이 주어졌으므로, $A=-1$ 이면 이 값은 원하는 대로 0이 된다. (이때 $(4-9A)=(9-4A)=13$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) By the chain rule

and

(b) Again by the chain rule

and

Consquently, for any constant $A$ ,

$\begin{aligned} w_{ss} - Aw_{tt} &= (4-9A) u_{xx} +(12+12A) u_{xy} + (9-4A) u_{yy} \end{aligned}$

Given that $u_{xx} + u_{yy}=0$ , this will be zero, as desired, if $A=-1$ . (Then $(4-9A)=(9-4A)=13$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.5절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서 연쇄 법칙과 직접 치환을 이용하여 $\frac{df}{dt}$ 를 구하세요.

$u={e}^{x}\sin \,y$ 이고 $x=-ln2t$ , $y=\pi t$ 일 때, $x=\ln \,2$ 이고 $y=\frac{\pi }{4}$ 일 때의 $\frac{du}{dt}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{du}{dt}=\sqrt{2}(\pi -4)$

이 문제로 이어서 풀기

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