접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.5절 · 1번

CLP-3 · 2.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ 과 $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ 이 $(0,0,0)$ 에서 서로 접한다고 말하는 것이 타당한가요?

영어 원문 보기

Is it reasonable to say that the surfaces $x^2+y^2+(z-1)^2=1$ and $x^2+y^2+(z+1)^2=1$ are tangent to each other at $(0,0,0)$ ?

정답·풀이 보기

$F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ , $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ 이라 하자. 곡면 $F(x,y,z)=0$ 을 $S_1$ , 곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S_2$ 라 하자. 먼저 $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ 이므로 점 $(0,0,0)$ 은 $S_1$ 과 $S_2$ 위에 모두 있다. $F$ 와 $G$ 의 그래디언트는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(x,y,z) &=\left<\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z-1)\right> \\ { \boldsymbol{\nabla} } G(x,y,z) &=\left<\frac{\partial G}{\partial x}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}(x,y,z)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z)\right> =\left< 2x\,,\,2y\,,\,2(z+1)\right> \end{aligned}$

특히,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

이므로 벡터 $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ 은 $(0,0,0)$ 에서 두 곡면에 모두 수직이다. 따라서 $(0,0,0)$ 에서 $S_1$ 과 $S_2$ 의 접평면은 모두

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{또는}\qquad z=0$

이다.

평면 $z=0$ 을 $P$ 라 하자. 그러면 $S_1$ 은 $(0,0,0)$ 에서 $P$ 에 접하고, $P$ 는 $(0,0,0)$ 에서 $S_2$ 에 접한다. 따라서 $S_1$ 과 $S_2$ 가 $(0,0,0)$ 에서 접한다고 말하는 것은 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

Write $F(x,y,z) = x^2+y^2+(z-1)^2-1$ and $G(x,y,z) = x^2+y^2+(z+1)^2-1$ . Let $S_1$ denote the surface $F(x,y,z)=0$ and $S_2$ denote the surface $G(x,y,z)=0$ . First note that $F(0,0,0)=G(0,0,0)=0$ so that the point $(0,0,0)$ lies on both $S_1$ and $S_2$ . The gradients of $F$ and $G$ are

In particular,

${ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0)=\left< 0,0,-2\right>\qquad { \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)=\left< 0,0,2\right>$

so that the vector $\hat{\mathbf{k}}=-\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } F(0,0,0) =\frac{1}{2}{ \boldsymbol{\nabla} } G(0,0,0)$ is normal to both surfaces at $(0,0,0)$ . So the tangent plane to both $S_1$ and $S_2$ at $(0,0,0)$ is

$\hat{\mathbf{k}}\cdot\left< x-0,y-0,z-0\right>=0\qquad\text{or}\qquad z=0$

Denote by $P$ the plane $z=0$ . Thus $S_1$ is tangent to $P$ at $(0,0,0)$ and $P$ is tangent to $S_2$ at $(0,0,0)$ . So it is reasonable to say that $S_1$ and $S_2$ are tangent at $(0,0,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 2번우리말 번역

점 $\mathbf{r}_0= (x_0,y_0,z_0)$ 이 곡면 $G(x,y,z)=0$ 위에 있다고 하자. ${ \boldsymbol{\nabla} } G(x_0,y_0,z_0)\ne\mathbf{0}$ 이라고 가정하자. 매개변수로 나타낸 곡선 $\mathbf{r}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 가 이 곡면에 포함되어 있고 $\mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}_0$ 이라고 하자. 이때 $\mathbf{r}_0$ 에서 곡선의 접선이 $\mathbf{r}_0$ 에서 $G=0$ 의 접평면 위에 놓임을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

곡면 $G(x,y,z)=0$ 을 $S$ 라 하고, 매개변수로 나타낸 곡선 $\mathbf{r}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 를 $C$ 라 하자. 먼저 $\mathbf{r}_0$ 에서 $S$ 의 접평면과 $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선을 구한다.

$\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선벡터는 $\left< x'(t_0)\,,\,y'(t_0)\,,\,z'(t_0) \right>$ 이므로, $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선의 매개변수 방정식은

$x-x_0 = t x'(t_0)\qquad y-y_0 = t y'(t_0)\qquad z-z_0 = t z'(t_0) \tag{$E_1$}$

기울기 벡터 $\left<\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\right>$ 는 $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면 $S$ 의 법선벡터이다. 따라서 $(x_0,y_0,z_0)$ 에서 곡면 $S$ 의 접평면은

$\left<\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\right> \cdot \left< x-x_0\,,\, y-y_0\,,\,z-z_0\right> = 0$

곧

$\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ (x-x_0) +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ (y-y_0) +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ (z-z_0) = 0 \tag{$E_2$}$

이다.

다음으로, $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선벡터 $\left< x'(t_0)\,,\,y'(t_0)\,,\,z'(t_0) \right>$ 와 $\mathbf{r}_0$ 에서 $S$ 의 법선벡터 $\left<\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\right>$ 가 서로 수직임을 보인다. 이를 위해, 모든 $t$ 에 대해 점 $\big(x(t),y(t),z(t)\big)$ 가 곡면 $G(x,y,z)=0$ 위에 있으므로 다음이 성립함에 주목한다.

$\begin{aligned} G\big(x(t),y(t),z(t)\big) =0 \end{aligned}$

이 등식의 양변을 $t$ 에 대해 미분하면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} 0&= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}G\big(x(t),y(t),z(t)\big) \\ &=\frac{\partial G}{\partial x}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ x'(t) +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ y'(t) +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ z'(t) \end{aligned}$

을 얻는다. 여기에 $t=t_0$ 을 대입하면

$\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ x'(t_0) +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ y'(t_0) +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ z'(t_0) = 0 \tag{$E_3$}$

이다.

마지막으로, $(x,y,z)$ 가 $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선 위의 임의의 점이면 $(x,y,z)$ 는 $\mathbf{r}_0$ 에서 $S$ 의 접평면 위에도 있음을 보인다. $(x,y,z)$ 가 $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선 위에 있으므로 $(E_1)$ 에 의해 어떤 $t$ 가 존재하여

$\begin{aligned} &\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \{x-x_0\} +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \{y-y_0\} +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \{z-z_0\} \\ &=\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \big\{ t\,x'(t_0)\big\} +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \big\{ t\,y'(t_0)\big\} +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ \big\{ t\,z'(t_0)\big\}\\ &= t\left[\frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ x'(t_0) +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ y'(t_0) +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ z'(t_0) \right] =0 \end{aligned}$

이다. 마지막 등호는 $(E_3)$ 에 의한 것이다. 즉 $(x,y,z)$ 는 $\mathbf{r}_0$ 에서 $S$ 의 접평면의 방정식 $(E_2)$ 를 만족하므로 그 접평면 위에 있다. 따라서 $\mathbf{r}_0$ 에서 $C$ 의 접선은 $\mathbf{r}_0$ 에서 $S$ 의 접평면에 포함된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산기본자동 분류