(a)
A normal vector to the surface at ( 0 , 2 , 1 ) (0,2,1) ( 0 , 2 , 1 )
∇ ( x y − 2 x + y z + x 2 + y 2 + z 3 − 7 ) ∣ ( 0 , 2 , 1 ) = < y − 2 + 2 x , x + z + 2 y , y + 3 z 2 > ∣ ( 0 , 2 , 1 ) = < 0 , 5 , 5 > \begin{aligned}
{ \boldsymbol{\nabla} }\big(xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3-7\big)\big|_{(0,2,1)}
&=\left< y-2+2x\,,\,x+z+2y\,,\,y+3z^2\right>\big|_{(0,2,1)}\\
&=\left< 0, 5, 5\right> \end{aligned} ∇ ( x y − 2 x + yz + x 2 + y 2 + z 3 − 7 ) ( 0 , 2 , 1 ) = ⟨ y − 2 + 2 x , x + z + 2 y , y + 3 z 2 ⟩ ( 0 , 2 , 1 ) = ⟨ 0 , 5 , 5 ⟩
So the tangent plane is
0 ( x − 0 ) + 5 ( y − 2 ) + 5 ( z − 1 ) = 0 or y + z = 3 \begin{aligned}
0(x-0)+5(y-2)+5(z-1)=0\text{ or }y+z=3
\end{aligned} 0 ( x − 0 ) + 5 ( y − 2 ) + 5 ( z − 1 ) = 0 or y + z = 3
The vector parametric equations for the normal line are
r ( t ) = < 0 , 2 , 1 > + t < 0 , 5 , 5 > \mathbf{r}(t)=\left< 0,2,1\right>+t\left< 0,5,5\right> r ( t ) = ⟨ 0 , 2 , 1 ⟩ + t ⟨ 0 , 5 , 5 ⟩
(b) Differentiating
x y − 2 x + y z ( x , y ) + x 2 + y 2 + z ( x , y ) 3 = 7 xy-2x+y\,z(x,y)+x^2+y^2+z(x,y)^3=7 x y − 2 x + y z ( x , y ) + x 2 + y 2 + z ( x , y ) 3 = 7
gives
y − 2 + y z x ( x , y ) + 2 x + 3 z ( x , y ) 2 z x ( x , y ) = 0 ⟹ z x ( x , y ) = 2 − 2 x − y y + 3 z ( x , y ) 2 x + z ( x , y ) + y z y ( x , y ) + 2 y + 3 z ( x , y ) 2 z y ( x , y ) = 0 ⟹ z y ( x , y ) = − x + 2 y + z ( x , y ) y + 3 z ( x , y ) 2 \begin{aligned}
y-2+y\,z_x(x,y)+2x+3z(x,y)^2z_x(x,y)&=0 & &\implies &
z_x(x,y)&=\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\\
x+z(x,y)+y\,z_y(x,y)+2y+3z(x,y)^2z_y(x,y)&=0 & &\implies &
z_y(x,y)&=-\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2}
\end{aligned} y − 2 + y z x ( x , y ) + 2 x + 3 z ( x , y ) 2 z x ( x , y ) x + z ( x , y ) + y z y ( x , y ) + 2 y + 3 z ( x , y ) 2 z y ( x , y ) = 0 = 0 ⟹ ⟹ z x ( x , y ) z y ( x , y ) = y + 3 z ( x , y ) 2 2 − 2 x − y = − y + 3 z ( x , y ) 2 x + 2 y + z ( x , y )
In particular, at ( 0 , 2 , 1 ) (0,2,1) ( 0 , 2 , 1 ) z y ( 0 , 2 ) = − 4 + 1 2 + 3 = − 1 z_y(0,2)=-\frac{4+1}{2+3}=-1 z y ( 0 , 2 ) = − 2 + 3 4 + 1 = − 1
(c)
Differentiating z x z_x z x y y y
z x y ( x , y ) = − 1 y + 3 z ( x , y ) 2 − 2 − 2 x − y [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 ( 1 + 6 z ( x , y ) z y ( x , y ) ) = − 1 y + 3 z ( x , y ) 2 − 2 − 2 x − y [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 ( 1 − 6 z ( x , y ) x + 2 y + z ( x , y ) y + 3 z ( x , y ) 2 ) \begin{aligned}
z_{xy}(x,y)
&=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2}
-\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}\big(1+6z(x,y)z_y(x,y)\big)\\
&=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2}
-\frac{2-2x-y}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}
\left(1-6z(x,y)\frac{x+2y+z(x,y)}{y+3z(x,y)^2}\right)
\end{aligned} z x y ( x , y ) = − y + 3 z ( x , y ) 2 1 − [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 2 − 2 x − y ( 1 + 6 z ( x , y ) z y ( x , y ) ) = − y + 3 z ( x , y ) 2 1 − [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 2 − 2 x − y ( 1 − 6 z ( x , y ) y + 3 z ( x , y ) 2 x + 2 y + z ( x , y ) )
As an alternate solution, we could also differentiate z y z_y z y x x x
z y x ( x , y ) = − 1 + z x ( x , y ) y + 3 z ( x , y ) 2 + x + 2 y + z ( x , y ) [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 6 z ( x , y ) z x ( x , y ) = − 1 y + 3 z ( x , y ) 2 ( 1 + 2 − 2 x − y y + 3 z ( x , y ) 2 ) + x + 2 y + z ( x , y ) [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 6 z ( x , y ) 2 − 2 x − y y + 3 z ( x , y ) 2 \begin{aligned}
z_{yx}(x,y)
&=-\frac{1+z_x(x,y)}{y+3z(x,y)^2}
+\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)z_x(x,y)\\
&=-\frac{1}{y+3z(x,y)^2}\left(1+\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}\right)
+\frac{x+2y+z(x,y)}{{[y+3z(x,y)^2]}^2}6z(x,y)\frac{2-2x-y}{y+3z(x,y)^2}
\end{aligned} z y x ( x , y ) = − y + 3 z ( x , y ) 2 1 + z x ( x , y ) + [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 x + 2 y + z ( x , y ) 6 z ( x , y ) z x ( x , y ) = − y + 3 z ( x , y ) 2 1 ( 1 + y + 3 z ( x , y ) 2 2 − 2 x − y ) + [ y + 3 z ( x , y ) 2 ] 2 x + 2 y + z ( x , y ) 6 z ( x , y ) y + 3 z ( x , y ) 2 2 − 2 x − y