접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.5절 · 17번

CLP-3 · 2.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

(a) 방정식이 $x^2+z^2=10$ 인 곡면에 수직이고 점 $(1,1,3)$ 에서의 벡터를 구하세요. (b) (a)의 곡면과 곡면 $y^2+z^2=10$ 의 교선인 곡선에 접하고 같은 점에서의 벡터를 구하세요. (c) 그 점에서 그 곡선에 접하는 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a vector perpendicular at the point $(1,1,3)$ to the surface with equation $x^2+z^2=10$ . (b) Find a vector tangent at the same point to the curve of intersection of the surface in part (a) with surface $y^2+z^2=10$ . (c) Find parametric equations for the line tangent to that curve at that point.

정답·풀이 보기

(a) 점 $(1,1,3)$ 에서 $x^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(x^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 } \frac{1}{2} \left< 2,0,6\right>=\left< 1,0,3\right>$

이다.

(b) 점 $(1,1,3)$ 에서 $y^2+z^2=10$ 에 수직인 벡터는

${ \boldsymbol{\nabla} }(y^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ 또는 }\frac{1}{2} \left< 0,2,6\right>=\left< 0,1,3\right>$

이다.

벡터가 주어진 점에서 주어진 곡선에 접하기 위한 필요충분조건은 그 벡터가 $(1,0,3)$ 과 $(0,1,3)$ 에 모두 수직인 것이다. 그러한 벡터 하나는

$\left< 0,1,3\right>\times\left<1,0,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 3,3,-1\right>$

이다.

$\mathbf{r}(t)=\left< 1,1,3\right>+t\left< 3,3,-1\right>$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A vector perpendicular to $x^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(x^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2x\hat{\boldsymbol{\imath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ or } \frac{1}{2} \left< 2,0,6\right>=\left< 1,0,3\right>$

(b) A vector perpendicular to $y^2+z^2=10$ at $(1,1,3)$ is

${ \boldsymbol{\nabla} }(y^2+z^2)\big|_{(1,1,3)} =(2y\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}})\big|_{(1,1,3)} =2\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\hat{\mathbf{k}}\text{ or }\frac{1}{2} \left< 0,2,6\right>=\left< 0,1,3\right>$

A vector is tangent to the specified curve at the specified point if and only if it perpendicular to both $(1,0,3)$ and $(0,1,3)$ . One such vector is

(c) The specified tangent line passes through $(1,1,3)$ and has direction vector $\left< 3,3,-1\right>$ and so has vector parametric equation

$\mathbf{r}(t)=\left< 1,1,3\right>+t\left< 3,3,-1\right>$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.5절 · 14번우리말 번역

두 곡면 $\ z^2=4x^2+9y^2\$ 과 $\ 6x+3y+2z=5\$ 의 교선에 접하고 길이가 $\sqrt{3}$ 인 벡터를 점 $\ (2,1,-5)$ 에서 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $F(x,y,z)=4x^2+9y^2-z^2=0$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } F(2,1,-5) = \left< 8x,18y,-2z\right>\Big|_{(2,1,-5)}=\left< 16,18,10\right> \end{aligned}$

점 $(2,1,-5)$ 에서 곡면 $G(x,y,z)=6x+3y+2z=5$ 에 수직인 벡터 하나는 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(2,1,-5) = \left< 6,3,2\right> \end{aligned}$

이제

곡선은 곡면 $z^2=4x^2+9y^2$ 위에 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\frac{1}{2}\left< 16,18,10\right>=\left< 8,9,5\right>$ 에 수직이다.
곡선은 곡면 $6x+3y+2z=5$ 위에도 있다. 따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 법선벡터 $\left< 6,3,2\right>$ 에도 수직이다.
따라서 점 $(2,1,-5)$ 에서 곡선의 접벡터는 다음 벡터와 평행하다.

$\begin{aligned} \left< 8,9,5\right>\times \left< 6,3,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 8 & 9 & 5 \\ 6 & 3 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3,14,-30\right> \end{aligned}$

구하는 벡터는 다음과 같다.

$\pm\sqrt{3}\frac{\left< 3,14,-30\right>}{|\left< 3,14,-30\right>|} =\pm\sqrt{\frac{3}{1105}}\left< 3,14,-30\right>$

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류