접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 4번

CLP-3 · 2.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ 라 하자. 계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f (-0.9\,,\, 1.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ . Find an approximate value for $f (-0.9\,,\, 1.1)$ without using a calculator or computer.

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$(x,y)=(-1,1)$ 에서 $f(x,y)$ 의 1계 미분계수가 필요하다. 그래서 먼저 이를 구한다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}$

$(-1,1)$ 근처에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the first order derivatives of $f(x,y)$ at $(x,y)=(-1,1)$ . So we find them first.

The linear approximation to $f(x,y)$ about $(-1,1)$ is

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 3번우리말 번역

계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)$ 의 $(0.01,1.05)$ 에서의 근삿값을 구하세요.

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선형 근사 $f(0.01,1.05)\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05)$ 를 적용한다. 이때

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sin(\pi xy+\ln y) & f(0,1)&=\sin 0=0\\ f_x(x,y)&=\pi y\cos(\pi xy+\ln y) & f_x(0,1)&=\pi\cos 0=\pi\\ f_y(x,y)&=\left(\pi x+\frac{1}{y}\right)\cos(\pi xy+\ln y) & f_y(0,1)&=\cos 0=1 \end{aligned}$

이다. 따라서

$\begin{aligned} f(0.01,1.05)&\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05) =0+\pi(0.01)+1(0.05) \\ &=0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814 \end{aligned}$

이다.

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