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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

직각삼각형의 한 변의 길이를 측정했더니 33 이고 최대 오차는 ±0.1\pm 0.1 이며, 다른 한 변의 길이는 44 이고 최대 오차는 ±0.2\pm 0.2 이다. 선형 근사를 이용하여 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산할 때 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

One side of a right triangle is measured to be 33 with a maximum possible error of ±0.1\pm 0.1, and the other side is measured to be 44 with a maximum possible error of ±0.2\pm 0.2. Use the linear approximation to estimate the maximum possible error in calculating the length of the hypotenuse of the right triangle.

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두 변의 길이를 xx, yy 라 하면 x=3±0.1x=3\pm 0.1, y=4±0.2y=4\pm 0.2 이다. 그러면 빗변의 길이는 f(x,y)=x2+y2f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} 이다. 다음과 같다.

f(x,y)=x2+y2f(3,4)=5fx(x,y)=xx2+y2fx(3,4)=35fy(x,y)=yx2+y2fy(3,4)=45\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}

선형 근사에 의해

f(x,y)≈f(3,4)+fx(3,4) (x−3)+fy(3,4) (y−4)=5+35 (x−3)+45 (y−4)\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}

따라서 빗변의 길이를 계산할 때 생기는 최대 오차의 근삿값은

35 (0.1)+45 (0.2)=1.15=0.22\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by xx and yy the lengths of sides with x=3±0.1x=3\pm 0.1 and y=4±0.2y=4\pm 0.2. Then the length of the hypotenuse is f(x,y)=x2+y2f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Note that

f(x,y)=x2+y2f(3,4)=5fx(x,y)=xx2+y2fx(3,4)=35fy(x,y)=yx2+y2fy(3,4)=45\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}

By the linear approximation

f(x,y)≈f(3,4)+fx(3,4) (x−3)+fy(3,4) (y−4)=5+35 (x−3)+45 (y−4)\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}

So the approximate maximum error in calculating the length of the hypotenuse is

35 (0.1)+45 (0.2)=1.15=0.22\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 7번우리말 번역

저항이 R1R_1, R2R_2 인 두 저항을 병렬로 연결하면, 합성 저항 R 은 방정식 1R=1R1+1R2\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} 을 만족시킨다. 선형 근사를 이용하여 R1R_1 이 22 옴에서 1.91.9 옴으로 감소하고 R2R_2 가 8 옴에서 8.1 옴으로 증가할 때 RR 의 변화량을 어림하세요.

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함수 R(R1,R2)R(R_1,R_2) 는 다음 식으로 음함수로 정의된다.

1R(R1,R2)=1R1+1R2(∗)\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}

특히

1R(2,8)=12+18=58  ⟹  R(2,8)=85\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}

다음 선형 근사를 이용하고자 한다.

R(R1,R2)≈R(2,8)+∂R∂R1(2,8) (R1−2)+∂R∂R2(2,8) (R2−8)R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)

그러기 위해서는 편도함수 ∂R∂R1(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) 와 ∂R∂R2(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) 가 필요하다. 이를 구하기 위해 (∗)(*) 를 R1R_1 과 R2R_2 에 대해 각각 미분한다.

−1R(R1,R2)2∂R∂R1(R1,R2)=−1R12−1R(R1,R2)2∂R∂R2(R1,R2)=−1R22\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}

R1=2R_1=2, R2=8R_2=8 을 대입하면

−1(8/5)2∂R∂R1(2,8)=−14  ⟹  ∂R∂R1(2,8)=1625−1(8/5)2∂R∂R2(2,8)=−164  ⟹  ∂R∂R2(2,8)=125\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}

따라서 RR 의 변화량은 다음과 같다.

R(1.9,8.1)−R(2,8)≈1625(−0.1)+125(0.1)=−15250=−0.06\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}

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