빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

저항이 R1R_1, R2R_2 인 두 저항을 병렬로 연결하면, 합성 저항 R 은 방정식 1R=1R1+1R2\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} 을 만족시킨다. 선형 근사를 이용하여 R1R_1 이 22 옴에서 1.91.9 옴으로 감소하고 R2R_2 가 8 옴에서 8.1 옴으로 증가할 때 RR 의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

If two resistors of resistance R1R_1 and R2R_2 are wired in parallel, then the resulting resistance R satisfies the equation 1R=1R1+1R2\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}. Use the linear approximation to estimate the change in RR if R1R_1 decreases from 22 to 1.91.9 ohms and R2R_2 increases from 8 to 8.1 ohms.

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함수 R(R1,R2)R(R_1,R_2) 는 다음 식으로 음함수로 정의된다.

1R(R1,R2)=1R1+1R2(∗)\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}

특히

1R(2,8)=12+18=58  ⟹  R(2,8)=85\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}

다음 선형 근사를 이용하고자 한다.

R(R1,R2)≈R(2,8)+∂R∂R1(2,8) (R1−2)+∂R∂R2(2,8) (R2−8)R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)

그러기 위해서는 편도함수 ∂R∂R1(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) 와 ∂R∂R2(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) 가 필요하다. 이를 구하기 위해 (∗)(*) 를 R1R_1 과 R2R_2 에 대해 각각 미분한다.

−1R(R1,R2)2∂R∂R1(R1,R2)=−1R12−1R(R1,R2)2∂R∂R2(R1,R2)=−1R22\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}

R1=2R_1=2, R2=8R_2=8 을 대입하면

−1(8/5)2∂R∂R1(2,8)=−14  ⟹  ∂R∂R1(2,8)=1625−1(8/5)2∂R∂R2(2,8)=−164  ⟹  ∂R∂R2(2,8)=125\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}

따라서 RR 의 변화량은 다음과 같다.

R(1.9,8.1)−R(2,8)≈1625(−0.1)+125(0.1)=−15250=−0.06\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The function R(R1,R2)R(R_1,R_2) is defined implictly by

1R(R1,R2)=1R1+1R2(∗)\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}

In particular

1R(2,8)=12+18=58  ⟹  R(2,8)=85\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}

We wish to use the linear approximation

R(R1,R2)≈R(2,8)+∂R∂R1(2,8) (R1−2)+∂R∂R2(2,8) (R2−8)R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)

To do so, we need the partial derivatives ∂R∂R1(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) and ∂R∂R2(2,8)\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8). To find them, we differentiate (∗)(*) with respect to R1R_1 and R2R_2:

−1R(R1,R2)2∂R∂R1(R1,R2)=−1R12−1R(R1,R2)2∂R∂R2(R1,R2)=−1R22\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}

Setting R1=2R_1=2 and R2=8R_2=8 gives

−1(8/5)2∂R∂R1(2,8)=−14  ⟹  ∂R∂R1(2,8)=1625−1(8/5)2∂R∂R2(2,8)=−164  ⟹  ∂R∂R2(2,8)=125\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}

So the specified change in RR is

R(1.9,8.1)−R(2,8)≈1625(−0.1)+125(0.1)=−15250=−0.06\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 4번우리말 번역

f(x,y)=x2yx4+2y2\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2} 라 하자. 계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 f(−0.9 , 1.1)f (-0.9\,,\, 1.1) 의 근삿값을 구하세요.

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(x,y)=(−1,1)(x,y)=(-1,1) 에서 f(x,y)f(x,y) 의 1계 미분계수가 필요하다. 그래서 먼저 이를 구한다.

fx(x,y)=2xyx4+2y2−x2y(4x3)(x4+2y2)2fx(−1,1)=−23+432=−29fy(x,y)=x2x4+2y2−x2y(4y)(x4+2y2)2fy(−1,1)=13−432=−19\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}

(−1,1)(-1,1) 근처에서 f(x,y)f(x,y) 의 선형 근사는 다음과 같다.

f(x,y)≈=f(−1,1)+fx(−1,1) (x+1)+fy(−1,1) (y−1)=13−29 (x+1)−19 (y−1)\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}

특히

f(−0.9,1.1)≈13−29 (0.1)−19 (0.1)=2790=0.3\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}

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# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

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