접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 9번

CLP-3 · 2.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

물체의 비중 $S$ 는 $\ S=\frac{A}{A-W}\$ 로 주어진다. 여기서 $A$ 는 공기 중에서 잰 물체의 무게이고 $W$ 는 물속에서 잰 물체의 무게이다. $\ A=20\pm .01\$ 이고 $\ W=12\pm.02\$ 일 때, 주어진 측정값으로 $S$ 를 계산할 때의 백분율 오차를 어림하여 구하세요.

영어 원문 보기

The specific gravity $S$ of an object is given by $\ S=\frac{A}{A-W}\$ where $A$ is the weight of the object in air and $W$ is the weight of the object in water. If $\ A=20\pm .01\$ and $\ W=12\pm.02\$ find the approximate percentage error in calculating $S$ from the given measurements.

정답·풀이 보기

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

이고, $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

주어진 임의의 $\Delta A$ 와 $\Delta W$ 에 대해 백분율 오차는

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

이다. 문제에서 $|\Delta A|\le 0.01$ 이고 $|\Delta W|\le 0.02$ 이다. $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ 를 최대로 하려면 $\Delta A=- 0.01$ , $\Delta W=+ 0.02$ 로 잡는다. 따라서 최대 백분율 오차는

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the linear approximation

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

with $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ . So

For any given $\Delta A$ and $\Delta W$ , the percentage error is

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

We are told that $|\Delta A|\le 0.01$ and $|\Delta W|\le 0.02$ . To maximize $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ take $\Delta A=- 0.01$ and $\Delta W=+ 0.02$ . So the maximum percentage error is

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 6번우리말 번역

직각삼각형의 한 변의 길이를 측정했더니 $3$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.1$ 이며, 다른 한 변의 길이는 $4$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.2$ 이다. 선형 근사를 이용하여 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산할 때 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

두 변의 길이를 $x$ , $y$ 라 하면 $x=3\pm 0.1$ , $y=4\pm 0.2$ 이다. 그러면 빗변의 길이는 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 이다. 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}$

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}$

따라서 빗변의 길이를 계산할 때 생기는 최대 오차의 근삿값은

$\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류