접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 10번

CLP-3 · 2.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

고체 내부의 압력은

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

로 주어진다. 여기서 $s$ 는 비열이고 $r$ 는 밀도이다. $(s,r)$ 를 측정하면 대략 $(2,2)$ 일 것으로 예상하며, $P$ 의 값을 가장 정확하게 얻고자 한다. $s$ 와 $r$ 를 측정하는 방법은 두 가지가 있다. 방법 $1$ 은 $s$ 의 오차가 $\pm 0.01$ 이고 $r$ 의 오차가 $\pm 0.1$ 이며, 방법 2 는 $s$ 와 $r$ 모두 오차가 $\pm 0.02$ 이다.

방법 1 과 방법 2 중 어느 것을 사용해야 하는지 판단하세요. 이유를 자세히 설명하세요.

영어 원문 보기

The pressure in a solid is given by

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

where $s$ is the specific heat and $r$ is the density. We expect to measure $(s,r)$ to be approximately $(2,2)$ and would like to have the most accurate value for $P$ . There are two different ways to measure $s$ and $r$ . Method $1$ has an error in $s$ of $\pm 0.01$ and an error in $r$ of $\pm 0.1$ , while method 2 has an error of $\pm 0.02$ for both $s$ and $r$ .

Should we use method 1 or method 2? Explain your reasoning carefully.

정답·풀이 보기

$(2,2)$ 에서 $P(s,r)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} P(2,2) &= (2)(2)\big[4(2)^2-(2)^2-2\big] = 40 \qquad\text{(which we don't actually need) } \\ P_s(2,2) &= \Big[12s^2r-r^3-2r\Big]_{s=r=2} = 84 \\ P_r(2,2) &= \Big[4s^3-3sr^2-2s\Big]_{s=r=2} = 4 \end{aligned}$

이므로 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

방법 1에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

이다.

방법 2에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

이다.

따라서 방법 1이 더 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation to $P(s,r)$ at $(2,2)$ is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

the linear approximation is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

Under method 1, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

Under method 2, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

Method 1 is better.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 13번우리말 번역

함수 $z = f (x, y)$ 가 다음 방정식으로 음함수로 정의되어 있다고 하자.

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ 를 구하세요. (b) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, 함수 $z = f (x, y)$ 의 $(-1, 1)$ 에서의 선형 근사를 구하세요. (c) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, (b)의 선형 근사를 이용하여 $f(-1.02, 0.97)$ 을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 함수 $f(x,y)$ 는 ( $(-1,1)$ 에 충분히 가까운) 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

을 만족시킨다. $(*)$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

이다. $f(x,y)$ 를 명시적으로 모르면 이 이상은 할 수 있는 것이 많지 않다.

(b) $f(-1,1)$ 은

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

을 만족시킨다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 이 식의 양변을 $f(-1, 1) < 0$ 으로 나눌 수 있고, $f(-1,1)^2 - 1=0$ 을 얻는다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 $f(-1, 1)=-1$ 이어야 한다. (a)에 의해

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

이다. 선형 근사를 구하려면 $f_y(-1,1)$ 도 필요하다. $(*)$ 의 양변을 $y$ 에 대해 미분하면

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

이다. 여기에 $x=-1$ , $y=1$ , $f(-1,1)=-1$ 을 대입하면

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

이다. 따라서 선형 근사는

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

이다.

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류