접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 13번

CLP-3 · 2.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

함수 $z = f (x, y)$ 가 다음 방정식으로 음함수로 정의되어 있다고 하자.

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ 를 구하세요. (b) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, 함수 $z = f (x, y)$ 의 $(-1, 1)$ 에서의 선형 근사를 구하세요. (c) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, (b)의 선형 근사를 이용하여 $f(-1.02, 0.97)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a function $z = f (x, y)$ is implicitly defined by an equation:

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) Find $\frac{\partial z}{\partial x}$ . (b) If $f(-1, 1) < 0$ , find the linear approximation of the function $z = f (x, y)$ at $(-1, 1)$ . (c) If $f(-1, 1) < 0$ , use the linear approximation in (b) to approximate $f(-1.02, 0.97)$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수 $f(x,y)$ 는 ( $(-1,1)$ 에 충분히 가까운) 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

을 만족시킨다. $(*)$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

이다. $f(x,y)$ 를 명시적으로 모르면 이 이상은 할 수 있는 것이 많지 않다.

(b) $f(-1,1)$ 은

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

을 만족시킨다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 이 식의 양변을 $f(-1, 1) < 0$ 으로 나눌 수 있고, $f(-1,1)^2 - 1=0$ 을 얻는다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 $f(-1, 1)=-1$ 이어야 한다. (a)에 의해

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

이다. 선형 근사를 구하려면 $f_y(-1,1)$ 도 필요하다. $(*)$ 의 양변을 $y$ 에 대해 미분하면

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

이다. 여기에 $x=-1$ , $y=1$ , $f(-1,1)=-1$ 을 대입하면

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

이다. 따라서 선형 근사는

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

이다.

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $f(x,y)$ obeys

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

for all $x$ and $y$ (sufficiently close to $(-1,1)$ ). Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

Without knowing $f(x,y)$ explicitly, there's not much that we can do with this.

(b) $f(-1,1)$ obeys

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

Since $f(-1, 1) < 0$ we may divide this equation by $f(-1, 1) < 0$ , giving $f(-1,1)^2 - 1=0$ . Since $f(-1, 1) < 0$ , we must have $f(-1, 1)=-1$ . By part (a)

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

To get the linear approximation, we still need $f_y(-1,1)$ . Differentiating $(*)$ with respect to $y$ gives

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

Then setting $x=-1$ , $y=1$ and $f(-1,1)=-1$ gives

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

So the linear approximation is

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 12번우리말 번역

$z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 이라 하자. $f(-0.8,2.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 의 1계 편도함수는

$\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}$

이다.

$(-1,2)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}$

이다.

특히 $x=-0.8$ , $y=2.1$ 일 때,

$\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류