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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

z=f(x,y)=2yx2+y2z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2} 이라 하자. f(−0.8,2.1)f(-0.8,2.1) 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let z=f(x,y)=2yx2+y2z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}. Find an approximate value for f(−0.8,2.1)f(-0.8,2.1).

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ff 의 1계 편도함수는

fx(x,y)=−4xy(x2+y2)2fx(−1,2)=825fy(x,y)=2x2+y2−4y2(x2+y2)2fy(−1,2)=25−1625=−625\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}

이다.

(−1,2)(-1,2) 에서 f(x,y)f(x,y) 의 선형 근사는

f(x,y)≈f(−1,2)+fx(−1,2) (x+1)+fy(−1,2) (y−2)=45+825 (x+1)−625 (y−2)\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}

이다.

특히 x=−0.8x=-0.8, y=2.1y=2.1 일 때,

f(−0.8,2.1)≈45+825 (0.2)−625 (0.1)=0.84\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The first order partial derivatives of ff are

fx(x,y)=−4xy(x2+y2)2fx(−1,2)=825fy(x,y)=2x2+y2−4y2(x2+y2)2fy(−1,2)=25−1625=−625\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}

The linear approximation of f(x,y)f(x,y) about (−1,2)(-1,2) is

f(x,y)≈f(−1,2)+fx(−1,2) (x+1)+fy(−1,2) (y−2)=45+825 (x+1)−625 (y−2)\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}

In particular, for x=−0.8x=-0.8 and y=2.1y=2.1,

f(−0.8,2.1)≈45+825 (0.2)−625 (0.1)=0.84\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 15번우리말 번역

삼각형의 두 변과 그 끼인각을 측정하였더니 각각 3±.13\pm.1m, 4±.14\pm.1m, 90±1∘90\pm 1^\circ 이었다. 이때 코사인법칙 C2=A2+B2−2ABcos⁡θC^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta 를 이용하여 셋째 변의 길이를 계산한다. 계산한 CC 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값을 구하세요.

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C(A,B,θ)=A2+B2−2ABcos⁡θC(A,B,\theta)=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos\theta} 라 하자. 그러면 C(3,4,π2)=5C\big(3,4,\frac{\pi}{2}\big)=5 이다. C2=A2+B2−2ABcos⁡θC^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta 를 미분하면

2C∂C∂A(A,B,θ)=2A−2Bcos⁡θ  ⟹  10∂C∂A(3,4,π2)=62C∂C∂B(A,B,θ)=2B−2Acos⁡θ  ⟹  10∂C∂B(3,4,π2)=82C∂C∂θ(A,B,θ)=2ABsin⁡θ  ⟹  10∂C∂θ(3,4,π2)=24\begin{aligned} 2C\frac{\partial C}{\partial A}(A,B,\theta)&=2A-2B\cos\theta &\quad&\implies\quad & 10\frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=6\\ 2C\frac{\partial C}{\partial B}(A,B,\theta)&=2B-2A\cos\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=8\\ 2C\frac{\partial C}{\partial \theta}(A,B,\theta)&=2AB\sin\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=24\\ \end{aligned}

이다. 따라서 계산한 CC 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값은

∣ΔC∣≈∣∂C∂A(3,4,π2)ΔA+∂C∂B(3,4,π2)ΔB+∂C∂θ(3,4,π2)Δθ∣≤(0.6)(0.1)+(0.8)(0.1)+(2.4)π180=π75+0.14≤0.182\begin{aligned} |\Delta C|&\approx \left| \frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta A +\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta B +\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta \theta\right| \\ &\le(0.6)(0.1)+(0.8)(0.1)+(2.4)\frac{\pi}{180}\\ &=\frac{\pi}{75}+0.14\le 0.182 \end{aligned}

이다.

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