접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 16번

CLP-3 · 2.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

미분을 이용하여 $x=3.02$ , $y=3.96$ 에서 $f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}$ 의 값에 대한 적절한 근삿값을 구하세요. $3.02\approx 3$ 이고 $3.96\approx 4$ 임에 주목하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to find a reasonable approximation to the value of $f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}$ at $x=3.02$ , $y=3.96$ . Note that $3.02\approx 3$ and $3.96\approx 4$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(x_0,y_0)=(3,4)$ 와 $(x,y)=(3.02,3.96)$ 를

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

에 대입하면

$\begin{aligned} f(3.02,3.96)&\approx f(3,4)+0.02f_x(3,4)-0.04f_y(3,4)\\ &=60+0.02\left(20+\frac{36}{5}\right)-0.04\left(15+\frac{48}{5}\right)\\ &=59.560 \end{aligned}$

이다. 이는

$f_x(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}+\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Substituting $(x_0,y_0)=(3,4)$ and $(x,y)=(3.02,3.96)$ into

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

gives

$\begin{aligned} f(3.02,3.96)&\approx f(3,4)+0.02f_x(3,4)-0.04f_y(3,4)\\ &=60+0.02\left(20+\frac{36}{5}\right)-0.04\left(15+\frac{48}{5}\right)\\ &=59.560 \end{aligned}$

since

$f_x(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}+\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 19번우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

$z^3 - xyz^2 - 4x = 0.$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요. (b) $(1, 1, 2)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) 측정에는 오차가 있어서 $x = 1 \pm 0.03$ 이고 $y = 1 \pm 0.02$ 입니다. 이때 $z$ 를 측정할 때의 최대 오차를 구하세요. (d) 한 입자가 이 곡면 위를 움직이는데, 그 경로를 $xy$ 평면에 사영한 것이 각 $\theta$ 에 대하여

$x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta$

로 주어지고, 점 $A : x = 2,\ y = 0$ 에서 점 $B : x = 1,\ y = 1$ 까지 움직입니다. 점 $A$ 와 $B$ 에서 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 조건에서

$z(x,y)^3 - xy\,z(x,y)^2 - 4x = 0$

이 모든 $(x,y)$ ( $(1,1)$ 에 충분히 가까운)에 대해 성립한다. 이 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -y\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - 4=0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4+yz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이고, $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -x\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이다.

(b) $(x,y,z)=(1,1,2)$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{4+(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

$z(x,y) \approx z(1,1) + z_x(1,1)\,(x-1) + z_y\,(1,1)\,(y-1) = 2 + (x-1) +\frac{1}{2}(y-1)$

이다. 따라서 $x$ 의 오차 $\pm 0.03$ 과 $y$ 의 오차 $\pm 0.02$ 로 인해 $z$ 에는 약

$\pm\left[0.03 + \frac{1}{2}(0.02)\right] =\pm 0.04$

의 오차가 생긴다.

(d) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} z\big(x(\theta),y(\theta)\big) &= z_x\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,x'(\theta) +z_y\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,y'(\theta) \\ &=-z_x\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\sin\theta +z_y\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\cos\theta \end{aligned}$

이다.

$A$ 에서는 $x=2$ , $y=0$ , $z=2$ ( $z^3-(2)(0)z^2-4(2)=0$ 이므로)이고 $\theta=0$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,0) = \frac{4+(0)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{1}{3}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(2,0) = \frac{(2)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{2}{3} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\frac{1}{3}\sin(0) +\frac{2}{3}\cos(0) =\frac{2}{3} \end{aligned}$

이다.

$B$ 에서는 $x=1$ , $y=1$ , $z=2$ 이고 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이므로 (b)에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\sin\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} = -1 \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

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