접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 17번

CLP-3 · 2.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

금속의 두께가 0.04cm일 때, 지름이 8cm이고 높이가 12cm인 닫힌 금속 캔에 들어 있는 금속의 부피를 미분을 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to estimate the volume of metal in a closed metal can with diameter 8cm and height 12cm if the metal is 0.04cm thick.

정답·풀이 보기

지름이 $d$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥의 부피는 $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ 이다. 이 문제의 표현은 주어진 치수가 안쪽 치수인지 바깥쪽 치수인지 밝히지 않아 다소 모호하다. 바깥쪽 치수라고 가정하자. 그러면 금속을 포함한 캔의 부피는 $V(8,12)$ 이고, 금속을 제외한 안쪽 부피는

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

이다. 따라서 금속의 부피는 약 $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc 이다. (이 정도의 근사에서는 주어진 치수가 안쪽 치수이든 바깥쪽 치수이든 상관없다.)

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a cylinder of diameter $d$ and height $h$ is $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ . The wording of the question is a bit ambiguous in that it does not specify if the given dimensions are inside dimensions or outside dimensions. Assume that they are outside dimensions. Then the volume of the can, including the metal, is $V(8,12)$ and the volume of the interior, excluding the metal, is

So the volume of metal is approximately $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc. (To this level of approximation, it doesn't matter whether the dimensions are inside or outside dimensions.)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.4절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 점에서 곡면에 접하는 접평면의 방정식을 구하세요. (힌트: $z$ 를 $x$ 와 $y.)$ 에 대한 식으로 나타내세요.

$z=-9{x}^{2}-3{y}^{2},P(2,1,-39)$

다 풀었으면 정답 확인

$-36x-6y-z=-39$

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류