접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 20번

CLP-3 · 2.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 의 각 점 $(x, y)$ 를 $ye^{-x}$ 에 대응시키는 함수 $f$ 를 생각하자.

(a) $x = 1$ , $y = e$ 이고, $x$ 와 $y$ 를 각각 측정할 때 크기 $0.1$ 의 오차가 생긴다고 하자. 이로 인해 $f(x,y)$ 에 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요. (b) 함수 $f$ 의 그래프는 $\mathbb{R}^3$ 안에 있고, 점 $(1, e, 1)$ 은 그 그래프 위에 있다. 그 점에서 그래프에 수직인 영벡터가 아닌 벡터를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f$ that maps each point $(x, y)$ in $\mathbb{R}^2$ to $ye^{-x}$ .

(a) Suppose that $x = 1$ and $y = e$ , but errors of size $0.1$ are made in measuring each of $x$ and $y$ . Estimate the maximum error that this could cause in $f(x,y)$ . (b) The graph of the function $f$ sits in $\mathbb{R}^3$ , and the point $(1, e, 1)$ lies on that graph. Find a nonzero vector that is perpendicular to that graph at that point.

정답·풀이 보기

$(x,y)=(1,e)$ 에서 $f(x,y)=ye^{-x}$ 의 1계 편도함수가 필요하다. 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= -ye^{-x} & f_x(1,e)&=-e\,e^{-1}=-1 \\ f_y(x,y)&=e^{-x} & f_y(1,e)&= e^{-1} \end{aligned}$

(a) $(x,y)=(1,e)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,e) + f_x(1,e)\,(x-1) +f_y(1,e)\,(y-e) = 1 -(x-1) +e^{-1}(y-e) \end{aligned}$

따라서 최대 오차는 대략 다음과 같다.

$\begin{aligned} -1(-0.1) +e^{-1}(0.1) =\frac{1+e^{-1}}{10} \end{aligned}$

(b) 그래프의 방정식은 $g(x,y,z) = f(x,y) -z =0$ 이다. 다음 벡터의 0이 아닌 임의의 상수배는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(1,e,1) =\left< f_x(1,e)\,,\,f_y(1,e)\,,\,-1\right> =\left< -1\,,\,e^{-1}\,,\,-1\right> \end{aligned}$

점 $(1,e,1)$ 에서 $g=0$ 에 수직이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the first order partial derivatives of $f(x,y)=ye^{-x}$ at $(x,y)=(1,e)$ . Here they are.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= -ye^{-x} & f_x(1,e)&=-e\,e^{-1}=-1 \\ f_y(x,y)&=e^{-x} & f_y(1,e)&= e^{-1} \end{aligned}$

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(x,y)=(1,e)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,e) + f_x(1,e)\,(x-1) +f_y(1,e)\,(y-e) = 1 -(x-1) +e^{-1}(y-e) \end{aligned}$

The maximum error is then approximately

$\begin{aligned} -1(-0.1) +e^{-1}(0.1) =\frac{1+e^{-1}}{10} \end{aligned}$

(b) The equation of the graph is $g(x,y,z) = f(x,y) -z =0$ . Any vector that is a nonzero constant times

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(1,e,1) =\left< f_x(1,e)\,,\,f_y(1,e)\,,\,-1\right> =\left< -1\,,\,e^{-1}\,,\,-1\right> \end{aligned}$

is perpendicular to $g=0$ at $(1,e,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 21번우리말 번역

곡면이 $z^4 - xy^2 z^2 + y = 0$ 으로 음함수 꼴로 정의되어 있다.

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 로 나타내세요. (b) $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) $x$ 가 $2$ 에서 $1.94$ 로 감소하고, $y$ 가 $-0.5$ 에서 $-0.4$ 로 증가할 때, $z$ 가 $1$ 에서 변하는 양을 어림하세요. (d) 점 $(2, -1/2, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 모든 $x,y$ 에 대해 ( $(x,y,z)$ 가 $(2,-1/2,1)$ 근처일 때), 함수 $z(x,y)$ 는 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}$

$(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

마찬가지로, 이 등식을 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

(b) (a)의 결과에 $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 을 대입하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}$

(d) 접평면의 방정식은

$\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

또는

$\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류