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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

곡면이 z4−xy2z2+y=0z^4 - xy^2 z^2 + y = 0 으로 음함수 꼴로 정의되어 있다.

(a) ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}, ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} 를 xx, yy, zz 로 나타내세요. (b) (x,y,z)=(2,−1/2,1)(x, y, z) = (2, -1/2, 1) 에서 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 와 ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} 의 값을 구하세요. (c) xx 가 22 에서 1.941.94 로 감소하고, yy 가 −0.5-0.5 에서 −0.4-0.4 로 증가할 때, zz 가 11 에서 변하는 양을 어림하세요. (d) 점 (2,−1/2,1)(2, -1/2, 1) 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface is defined implicitly by z4−xy2z2+y=0z^4 - xy^2 z^2 + y = 0.

(a) Compute ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}, ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} in terms of xx, yy, zz. (b) Evaluate ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} and ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} at (x,y,z)=(2,−1/2,1)(x, y, z) = (2, -1/2, 1). (c) If xx decreases from 22 to 1.941.94, and yy increases from −0.5-0.5 to −0.4-0.4, find the approximate change in zz from 11. (d) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point (2,−1/2,1)(2, -1/2, 1).

정답·풀이 보기

(a) 모든 x,yx,y 에 대해 ((x,y,z)(x,y,z) 가 (2,−1/2,1)(2,-1/2,1) 근처일 때), 함수 z(x,y)z(x,y) 는 다음을 만족한다.

z(x,y)4−xy2z(x,y)2+y=0(∗)\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}

(∗)(*) 를 xx 에 대해 미분하면

4z(x,y)3∂z∂x(x,y)−y2z(x,y)2−2xy2z(x,y)∂z∂x(x,y)=0  ⟹  ∂z∂x(x,y)=y2z(x,y)24z(x,y)3−2xy2z(x,y)\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}

마찬가지로, 이 등식을 yy 에 대해 미분하면

4z(x,y)3∂z∂y(x,y)−2xy z(x,y)2−2xy2z(x,y)∂z∂y(x,y)+1=0  ⟹  ∂z∂y(x,y)=2xy z(x,y)2−14z(x,y)3−2xy2z(x,y)\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}

(b) (a)의 결과에 (x,y,z)=(2,−1/2,1)(x, y, z) = (2, -1/2, 1) 을 대입하면

∂z∂x(2,−1/2)=1/44−1=112∂z∂y(2,−1/2)=−2−14−1=−1\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}

(c) (2,−1/2)(2,-1/2) 에서의 선형 근사에 의해

f(x,y)≈f(2,−1/2)+fx(2,−1/2) (x−2)+fy(2,−1/2) (y+1/2)=1+112(x−2)−(y+0.5)\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}

특히

f(1.94,−0.4)≈1−0.0612−0.1\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}

이므로

f(1.94,−0.4)−1≈−0.105\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}

(d) 접평면의 방정식은

z=f(2,−1/2)+fx(2,−1/2) (x−2)+fy(2,−1/2) (y+1/2)=1+112(x−2)−(y+0.5)\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}

또는

x12−y−z=−13\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that for all x,yx,y (with (x,y,z)(x,y,z) near (2,−1/2,1)(2,-1/2,1)), the function z(x,y)z(x,y) obeys

z(x,y)4−xy2z(x,y)2+y=0(∗)\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}

Differentiating (∗)(*) with respect to xx gives

4z(x,y)3∂z∂x(x,y)−y2z(x,y)2−2xy2z(x,y)∂z∂x(x,y)=0  ⟹  ∂z∂x(x,y)=y2z(x,y)24z(x,y)3−2xy2z(x,y)\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}

Similarly, differentiating this equation with respect to yy gives

4z(x,y)3∂z∂y(x,y)−2xy z(x,y)2−2xy2z(x,y)∂z∂y(x,y)+1=0  ⟹  ∂z∂y(x,y)=2xy z(x,y)2−14z(x,y)3−2xy2z(x,y)\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}

(b) Substituting (x,y,z)=(2,−1/2,1)(x, y, z) = (2, -1/2, 1) into the results of part (a) gives

∂z∂x(2,−1/2)=1/44−1=112∂z∂y(2,−1/2)=−2−14−1=−1\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}

(c) Under the linear approximation about (2,−1/2)(2,-1/2),

f(x,y)≈f(2,−1/2)+fx(2,−1/2) (x−2)+fy(2,−1/2) (y+1/2)=1+112(x−2)−(y+0.5)\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}

In particular

f(1.94,−0.4)≈1−0.0612−0.1\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}

so that

f(1.94,−0.4)−1≈−0.105\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}

(d) The tangent plane is

z=f(2,−1/2)+fx(2,−1/2) (x−2)+fy(2,−1/2) (y+1/2)=1+112(x−2)−(y+0.5)\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}

or

x12−y−z=−13\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 22번우리말 번역

곡면 z=f(x,y)z = f (x, y) 는 (x,y,z)=(1,3,1)(x, y, z) = (1, 3, 1) 에서 편도함수 ∂f∂x=3\frac{\partial f}{\partial x}=3 과 ∂f∂y=−2\frac{\partial f}{\partial y}=-2 를 갖는다.

(a) xx 가 11 에서 1.21.2 로 증가하고 yy 가 33 에서 2.62.6 으로 감소할 때, 선형 근사를 이용하여 zz 의 변화량을 구하세요. (b) 점 (1,3,1)(1, 3, 1) 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) (1,3)(1,3) 에서 f(x,y)f(x,y) 의 선형 근사는 다음과 같다.

f(x,y)≈f(1,3)+fx(1,3) (x−1)+fy(1,3) (y−3)=1+3(x−1)−2(y−3)\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}

따라서 zz 의 변화량은 대략 다음과 같다.

3(1.2−1)−2(2.6−3)=1.4\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}

(b) 접평면의 방정식은 다음과 같다.

z=f(1,3)+fx(1,3) (x−1)+fy(1,3) (y−3)=1+3(x−1)−2(y−3)\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}

또는

3x−2y−z=−43x-2y-z = -4

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