접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 22번

CLP-3 · 2.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡면 $z = f (x, y)$ 는 $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ 에서 편도함수 $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ 과 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ 를 갖는다.

(a) $x$ 가 $1$ 에서 $1.2$ 로 증가하고 $y$ 가 $3$ 에서 $2.6$ 으로 감소할 때, 선형 근사를 이용하여 $z$ 의 변화량을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface $z = f (x, y)$ has derivatives $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ and $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ at $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ .

(a) If $x$ increases from $1$ to $1.2$ , and $y$ decreases from $3$ to $2.6$ , find the change in $z$ using a linear approximation. (b) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point $(1, 3, 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) $(1,3)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

따라서 $z$ 의 변화량은 대략 다음과 같다.

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

또는

$3x-2y-z = -4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(1,3)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

So the change is $z$ is approximately

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) The equation of the tangent plane is

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

$3x-2y-z = -4$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 23번우리말 번역

판데르발스 방정식에 따르면 기체는 다음 방정식을 만족시킨다.

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

여기서 $p$ , $V$ , $T$ 는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이 기체가 현재 압력 $1$ , 부피 $2$ , 온도 $5$ 인 상태라고 하자. $p$ 가 $0.2$ 만큼, $T$ 가 $0.3$ 만큼 증가할 때 부피의 변화량을 어림하세요.

답 쓰고 채점

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부피를 압력과 온도의 함수 $V(p,T)$ 로 생각하자. 이 함수는 (적어도 $p\approx 1$ , $T\approx 5$ , $V\approx 2$ 일 때) 다음 방정식에 의해 음함수로 결정된다.

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

$V$ 의 변화량을 어림하기 위해 $p=1$ , $T=5$ 에서 $V(p,T)$ 의 선형 근사를 이용한다. 그러려면 편도함수 $V_p(1,5)$ 와 $V_T(1,5)$ 가 필요하다. 방정식 $(*)$ 는 $1$ 에 가까운 모든 $p$ 와 $5$ 에 가까운 모든 $T$ 에 대해 성립하므로, $(*)$ 의 양변을 $p$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

이고, $(*)$ 의 양변을 $T$ 에 대해서도 미분하면

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

이다. 특히 $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ 일 때

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

이므로 $V$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류