접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 23번

CLP-3 · 2.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

판데르발스 방정식에 따르면 기체는 다음 방정식을 만족시킨다.

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

여기서 $p$ , $V$ , $T$ 는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이 기체가 현재 압력 $1$ , 부피 $2$ , 온도 $5$ 인 상태라고 하자. $p$ 가 $0.2$ 만큼, $T$ 가 $0.3$ 만큼 증가할 때 부피의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

According to van der Waal's equation, a gas satisfies the equation

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

where $p$ , $V$ and $T$ denote pressure, volume and temperature respectively. Suppose the gas is now at pressure $1$ , volume $2$ and temperature $5$ . Find the approximate change in its volume if $p$ is increased by $0.2$ and $T$ is increased by $0.3$ .

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정답·풀이 보기

부피를 압력과 온도의 함수 $V(p,T)$ 로 생각하자. 이 함수는 (적어도 $p\approx 1$ , $T\approx 5$ , $V\approx 2$ 일 때) 다음 방정식에 의해 음함수로 결정된다.

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

$V$ 의 변화량을 어림하기 위해 $p=1$ , $T=5$ 에서 $V(p,T)$ 의 선형 근사를 이용한다. 그러려면 편도함수 $V_p(1,5)$ 와 $V_T(1,5)$ 가 필요하다. 방정식 $(*)$ 는 $1$ 에 가까운 모든 $p$ 와 $5$ 에 가까운 모든 $T$ 에 대해 성립하므로, $(*)$ 의 양변을 $p$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

이고, $(*)$ 의 양변을 $T$ 에 대해서도 미분하면

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

이다. 특히 $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ 일 때

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

이므로 $V$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Think of the volume as being the function $V(p,T)$ of pressure and temperature that is determined implicitly (at least for $p\approx 1$ , $T\approx 5$ and $V\approx 2$ ) by the equation

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

To determine the approximate change in $V$ , we will use the linear approximation to $V(p,T)$ at $p=1$ , $T=5$ . So we will need the partial derivatives $V_p(1,5)$ and $V_T(1,5)$ . As the equation $(*)$ is valid for all $p$ near $1$ and $T$ near 5, we may differentiate $(*)$ with respect to $p$ , giving

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

and we may also differentiate $(*)$ with respect to $T$ , giving

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

In particular, when $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ ,

so that the change in $V$ is

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 24번우리말 번역

함수 $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 을 생각하자.

(a) $(x, y) = (2, 1)$ 인 점에서 그래프 $z = f (x,y)$ 에 접하는 접평면의 방정식을 구하세요. (b) (a)에서 구한 접평면을 이용하여 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값을 구하세요.

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(a)

(b)

다 풀었으면 정답 확인

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} f_x(2,1) & = -2x e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = -4 \\ f_y(2,1) & = \phantom{-}8y e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = 8 \end{aligned}$

$z=f(x,y)$ 의 $(2,1)$ 에서의 접평면은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z &= f(2,1) +f_x(2,1)\,(x-2) +f_y(2,1)\,(y-1) = 1 -4 (x-2) +8(y-1) \\ &= 1-4x +8y \end{aligned}$

그리고 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(1.99, 1.01) \approx 1 -4 (1.99-2) +8(1.01-1) = 1.12 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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