빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

접평면과 선형근사

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

(a) 곡면 x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2 위의 점 P=(1,1,−1)P = (1,1,-1) 에서의 접평면의 방정식을 구하세요. (b) x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2 에 의해 zz 가 음함수로 정의되어 있다고 하자. 점 P=(1,1,−1)P = (1,1,-1) 에서 ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} 의 값을 구하세요. (c) zz 를 (ii)에서와 같이 방정식 x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2 으로 정의되는 같은 음함수라고 하자. x=0.97x = 0.97, y=1y = 1 일 때, zz 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the equation of the tangent plane to the surface x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2 at the point P=(1,1,−1)P = (1,1,-1). (b) Let zz be defined implicitly by x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2. Find ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x} at the point P=(1,1,−1)P = (1,1,-1). (c) Let zz be the same implicit function as in part (ii), defined by the equation x2z3+ysin⁡(πx)=−y2x^2 z^3 + y \sin(\pi x) = -y^2. Let x=0.97x = 0.97, and y=1y = 1. Find the approximate value of zz.

정답·풀이 보기

(a) 이 곡면의 방정식은 G(x,y,z)=x2z3+ysin⁡(πx)+y2=0G(x,y,z) = x^2 z^3 + y \sin(\pi x) + y^2 =0 이다. 따라서 점 (1,1−1)(1,1-1) 에서 곡면의 법선 벡터는

∇G(1,1,−1)=[(2xz3+πycos⁡(πx))ı^+(sin⁡(πx)+2y)ȷ^+3z2x2 k^](x,y,z)=(1,1,−1)=(−2−π)ı^+2 ȷ^+3 k^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(1,1,-1) &= \big[ \big(2x z^3 +\pi y\cos(\pi x)\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\sin(\pi x) +2y\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3z^2 x^2\,\hat{\mathbf{k}}\big]_{(x,y,z)=(1,1,-1)} \\ &= \big(-2-\pi\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다. 그러므로 접평면의 방정식은

(−2−π)(x−1)+2(y−1)+3(z+1)=0또는−(2+π)x+2y+3z=−π−3\begin{aligned} \big(-2-\pi\big)(x-1) + 2(y-1) +3 (z+1) =0\quad\text{또는}\quad -(2+\pi)x +2y +3z = -\pi-3 \end{aligned}

이다.

(b) 함수 z(x,y)z(x,y) 는 모든 xx 와 yy 에 대해

x2z(x,y)3+ysin⁡(πx)+y2=0\begin{aligned} x^2 z(x,y)^3 +y\sin(\pi x) +y^2 = 0 \end{aligned}

을 만족한다. 이 등식을 xx 에 대해 미분하면

2xz(x,y)3+3x2z(x,y)2∂z∂x(x,y)+πycos⁡(πx)=0\begin{aligned} 2x z(x,y)^3 + 3 x^2 z(x,y)^2 \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + \pi y \cos(\pi x) =0 \end{aligned}

을 얻는다. (1,1,−1)(1,1,-1) 에서의 값을 구하면

−2+3∂z∂x(1,1)−π=0  ⟹  ∂z∂x(1,1)=π+23\begin{aligned} -2 + 3 \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) -\pi =0 \implies \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\pi+2}{3} \end{aligned}

이다.

(c) (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1) 근방에서 선형 근사를 이용하면

z(x,1)≈z(1,1)+∂z∂x(1,1) (x−1)\begin{aligned} z(x,1) \approx z(1,1) +\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)\ (x-1) \end{aligned}

이므로

z(0.97,1)≈−1+π+23 (−0.03)=−1−π+2100=−π+102100\begin{aligned} z(0.97,1) \approx -1 +\frac{\pi+2}{3}\ (-0.03) = -1 -\frac{\pi+2}{100} = -\frac{\pi+102}{100} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The surface has equation G(x,y,z)=x2z3+ysin⁡(πx)+y2=0G(x,y,z) = x^2 z^3 + y \sin(\pi x) + y^2 =0. So a normal vector to the surface at (1,1−1)(1,1-1) is

∇G(1,1,−1)=[(2xz3+πycos⁡(πx))ı^+(sin⁡(πx)+2y)ȷ^+3z2x2 k^](x,y,z)=(1,1,−1)=(−2−π)ı^+2 ȷ^+3 k^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } G(1,1,-1) &= \big[ \big(2x z^3 +\pi y\cos(\pi x)\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big(\sin(\pi x) +2y\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3z^2 x^2\,\hat{\mathbf{k}}\big]_{(x,y,z)=(1,1,-1)} \\ &= \big(-2-\pi\big)\hat{\boldsymbol{\imath}} +2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

So the equation of the tangent plane is

(−2−π)(x−1)+2(y−1)+3(z+1)=0or−(2+π)x+2y+3z=−π−3\begin{aligned} \big(-2-\pi\big)(x-1) + 2(y-1) +3 (z+1) =0\quad\text{or}\quad -(2+\pi)x +2y +3z = -\pi-3 \end{aligned}

(b) The functions z(x,y)z(x,y) obeys

x2z(x,y)3+ysin⁡(πx)+y2=0\begin{aligned} x^2 z(x,y)^3 +y\sin(\pi x) +y^2 = 0 \end{aligned}

for all xx and yy. Differentiating this equation with respect to xx gives

2xz(x,y)3+3x2z(x,y)2∂z∂x(x,y)+πycos⁡(πx)=0\begin{aligned} 2x z(x,y)^3 + 3 x^2 z(x,y)^2 \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + \pi y \cos(\pi x) =0 \end{aligned}

Evaluating at (1,1,−1)(1,1,-1) gives

−2+3∂z∂x(1,1)−π=0  ⟹  ∂z∂x(1,1)=π+23\begin{aligned} -2 + 3 \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) -\pi =0 \implies \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\pi+2}{3} \end{aligned}

(c) Using the linear approximation about (x,y)=(1,1)(x,y)=(1,1),

z(x,1)≈z(1,1)+∂z∂x(1,1) (x−1)\begin{aligned} z(x,1) \approx z(1,1) +\frac{\partial z}{\partial x}(1,1)\ (x-1) \end{aligned}

gives

z(0.97,1)≈−1+π+23 (−0.03)=−1−π+2100=−π+102100\begin{aligned} z(0.97,1) \approx -1 +\frac{\pi+2}{3}\ (-0.03) = -1 -\frac{\pi+2}{100} = -\frac{\pi+102}{100} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.6절 · 27번우리말 번역

곡면 x4+y4+z4+xyz=17x^4+y^4+z^4+xyz=17 은 점 (0,1,2)(0,1,2) 를 지나고, 이 점 근처에서 이 곡면은 xx 를 yy 와 zz 의 함수 x=F(y,z)x=F(y,z) 로 정한다.

(a) (x,y,z)=(0,1,2)(x,y,z)=(0,1,2) 에서 FyF_y 와 FzF_z 를 구하세요. (b) 접평면 근사(선형근사, 1차 근사 또는 미분 근사라고도 한다)를 이용하여, 점 (x,1.01,1.98)(x,1.01, 1.98) 이 곡면 위에 있도록 하는 xx (00 근처)의 근삿값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) y=1y=1, z=2z=2 근처의 모든 yy 와 zz 에 대해 함수 F(y,z)F(y,z) 는 F(y,z)4+y4+z4+F(y,z)yz=17F(y,z)^4+y^4+z^4+F(y,z)yz=17 을 만족한다. 이 등식에 ∂∂y\frac{\partial }{\partial y} 와 ∂∂z\frac{\partial }{\partial z} 를 각각 적용하면 다음과 같다.

4F(y,z)3Fy(y,z)+4y3+Fy(y,z)yz+F(y,z)z=04F(y,z)3Fz(y,z)+4z3+Fz(y,z)yz+F(y,z)y=0\begin{aligned} 4F(y,z)^3F_y(y,z)+4y^3+F_y(y,z)yz +F(y,z)z&=0 \\ 4F(y,z)^3F_z(y,z)+4z^3+F_z(y,z)yz +F(y,z)y&=0 \end{aligned}

F(1,2)=0F(1,2)=0, y=1y=1, z=2z=2 를 대입하면 다음과 같다.

4+2Fy(1,2)=0   ⟹   Fy(1,2)=−232+2Fz(1,2)=0   ⟹   Fz(1,2)=−16\begin{aligned} 4+2F_y(1,2)&=0 & &\ \implies\ & &F_y(1,2)=-2 \\ 32+2F_z(1,2)&=0 & &\ \implies\ & & F_z(1,2)=-16 \end{aligned}

(b) y=1y=1, z=2z=2 에서 x=F(y,z)x=F(y,z) 의 접평면은 다음과 같다.

x≈F(1,2)+Fy(1,2) (y−1)+Fz(1,2) (z−2)x \approx F(1,2) +F_y(1,2)\,(y-1) +F_z(1,2)\,(z-2)

여기에 y=1.01y=1.01, z=1.98z=1.98 을 대입하면 다음과 같다.

x=F(1.01,1.98)≈F(1,2)+Fy(1,2)(1.01−1)+Fz(1,2)(1.98−2)=0−2(.01)−16(−0.02)=0.3\begin{aligned} x=F(1.01, 1.98) &\approx F(1,2)+F_y(1,2)(1.01-1)+F_z(1,2)(1.98-2) \\ &=0-2(.01)-16(-0.02) =0.3 \end{aligned}

이 문제로 이어서 풀기
# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

「접평면과 선형근사」 문제 목록으로