접평면과 선형근사 연습문제 — CLP-3 · 2.6절 · 27번

CLP-3 · 2.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

곡면 $x^4+y^4+z^4+xyz=17$ 은 점 $(0,1,2)$ 를 지나고, 이 점 근처에서 이 곡면은 $x$ 를 $y$ 와 $z$ 의 함수 $x=F(y,z)$ 로 정한다.

(a) $(x,y,z)=(0,1,2)$ 에서 $F_y$ 와 $F_z$ 를 구하세요. (b) 접평면 근사(선형근사, 1차 근사 또는 미분 근사라고도 한다)를 이용하여, 점 $(x,1.01, 1.98)$ 이 곡면 위에 있도록 하는 $x$ ( $0$ 근처)의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

The surface $x^4+y^4+z^4+xyz=17$ passes through $(0,1,2)$ , and near this point the surface determines $x$ as a function, $x=F(y,z)$ , of $y$ and $z$ .

(a) Find $F_y$ and $F_z$ at $(x,y,z)=(0,1,2)$ . (b) Use the tangent plane approximation (also known as linear, first order or differential approximation) to find the approximate value of $x$ (near $0$ ) such that $(x,1.01, 1.98)$ lies on the surface.

정답·풀이 보기

(a) $y=1$ , $z=2$ 근처의 모든 $y$ 와 $z$ 에 대해 함수 $F(y,z)$ 는 $F(y,z)^4+y^4+z^4+F(y,z)yz=17$ 을 만족한다. 이 등식에 $\frac{\partial }{\partial y}$ 와 $\frac{\partial }{\partial z}$ 를 각각 적용하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 4F(y,z)^3F_y(y,z)+4y^3+F_y(y,z)yz +F(y,z)z&=0 \\ 4F(y,z)^3F_z(y,z)+4z^3+F_z(y,z)yz +F(y,z)y&=0 \end{aligned}$

$F(1,2)=0$ , $y=1$ , $z=2$ 를 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} 4+2F_y(1,2)&=0 & &\ \implies\ & &F_y(1,2)=-2 \\ 32+2F_z(1,2)&=0 & &\ \implies\ & & F_z(1,2)=-16 \end{aligned}$

(b) $y=1$ , $z=2$ 에서 $x=F(y,z)$ 의 접평면은 다음과 같다.

$x \approx F(1,2) +F_y(1,2)\,(y-1) +F_z(1,2)\,(z-2)$

여기에 $y=1.01$ , $z=1.98$ 을 대입하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} x=F(1.01, 1.98) &\approx F(1,2)+F_y(1,2)(1.01-1)+F_z(1,2)(1.98-2) \\ &=0-2(.01)-16(-0.02) =0.3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $F(y,z)$ obeys $F(y,z)^4+y^4+z^4+F(y,z)yz=17$ for all $y$ and $z$ near $y=1$ , $z=2$ . Applying the derivatives $\frac{\partial }{\partial y}$ and $\frac{\partial }{\partial z}$ to this equation gives

$\begin{aligned} 4F(y,z)^3F_y(y,z)+4y^3+F_y(y,z)yz +F(y,z)z&=0 \\ 4F(y,z)^3F_z(y,z)+4z^3+F_z(y,z)yz +F(y,z)y&=0 \end{aligned}$

Substiututing $F(1,2)=0$ , $y=1$ and $z=2$ gives

$\begin{aligned} 4+2F_y(1,2)&=0 & &\ \implies\ & &F_y(1,2)=-2 \\ 32+2F_z(1,2)&=0 & &\ \implies\ & & F_z(1,2)=-16 \end{aligned}$

(b) Using the tangent plane to $x=F(y,z)$ at $y=1$ and $z=2$ , which is

$x \approx F(1,2) +F_y(1,2)\,(y-1) +F_z(1,2)\,(z-2)$

with $y=1.01$ and $z=1.98$ gives

$\begin{aligned} x=F(1.01, 1.98) &\approx F(1,2)+F_y(1,2)(1.01-1)+F_z(1,2)(1.98-2) \\ &=0-2(.01)-16(-0.02) =0.3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제APEX · 12.4절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $z=f(x,y)$ 가 미분가능하면, $x$ 와 $y$ 의 작은 변화량 $dx$ 와 $dy$ 에 대한 $z$ 의 변화량은 근사적으로 $dz$ 이다.

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