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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

당신은 지표면이 매끄러운 곳에 서 있습니다. 남쪽 방향의 기울기는 44 이고 남동쪽 방향의 기울기는 2\sqrt{2} 입니다. 동쪽 방향의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

You are standing at a location where the surface of the earth is smooth. The slope in the southern direction is 44 and the slope in the south–eastern direction is 2\sqrt{2}. Find the slope in the eastern direction.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

양의 yy 축이 북쪽, 양의 xx 축이 동쪽을 향하고 현재 위치가 x=y=0x=y=0 인 좌표계를 사용한다. (x,y)(x,y) 에서 지표면의 고도를 z(x,y)z(x,y) 라 하자. 주어진 조건에서

∇z(0,0)⋅(−ȷ^)=4∇z(0,0)⋅(ı^−ȷ^2)=2\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}

이다. 첫째 식에서 zy(0,0)=−4z_y(0,0)=-4 이고 둘째 식에서

zx(0,0)−zy(0,0)2=2  ⟹  zx(0,0)=zy(0,0)+2=−2\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}

이다. 따라서 동쪽 방향의 기울기는

∇z(0,0)⋅ı^=zx(0,0)=−2\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Use a coordinate system with the positive yy–axis pointing north, with the positive xx–axis pointing east and with our current location being x=y=0x=y=0. Denote by z(x,y)z(x,y) the elevation of the earth's surface at (x,y)(x,y). We are told that

∇z(0,0)⋅(−ȷ^)=4∇z(0,0)⋅(ı^−ȷ^2)=2\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}

The first equation implies that zy(0,0)=−4z_y(0,0)=-4 and the second equation implies that

zx(0,0)−zy(0,0)2=2  ⟹  zx(0,0)=zy(0,0)+2=−2\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}

So the slope in the eastern direction is

∇z(0,0)⋅ı^=zx(0,0)=−2\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 5번우리말 번역

방향미분계수가 다음과 같을 때 ∇f(a,b){ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b) 를 구하세요.

D(ı^+ȷ^)/2f(a,b)=32D(3ı^−4ȷ^)/5f(a,b)=5D_{(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\boldsymbol{\imath}}-4\hat{\boldsymbol{\jmath}})/5}f(a,b)=5

다 풀었으면 정답 확인

∇f(a,b)=<α,β>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< \alpha ,\beta \right> 라 하자. 주어진 조건에서

<α,β>⋅<12,12>=32또는α+β=6<α,β>⋅<35,−45>=5또는3α−4β=25\begin{aligned} \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right>&=3\sqrt{2} & &\quad\text{또는}\quad & \alpha +\beta &=6\\ \left<\alpha ,\beta \right>\cdot\left<\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right>&=5 & &\quad\text{또는}\quad & 3\alpha -4\beta &=25 \end{aligned}

이다. 첫째 식의 4배를 둘째 식에 더하면 7α=497\alpha =49 이다. α=7\alpha =7 을 첫째 식에 대입하면 β=−1\beta =-1 이다. 따라서 ∇f(a,b)=<7,−1>{ \boldsymbol{\nabla} } f(a,b)=\left< 7,-1\right> 이다.

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