방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 7번

CLP-3 · 2.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

$w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 벡터 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이고, 그 방향으로의 방향미분계수의 값이 $3\sqrt{6}$ 이라고 가정하자.

(a) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 구하세요. (b) $w = f(x,y,z)$ 의 점 $P$ 에서 벡터 $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 의 방향으로의 방향미분계수를 구하세요.

영어 원문 보기

Assume that the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at a point $P$ is a maximum in the direction of the vector $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and the value of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ .

(a) Find the gradient vector of $w = f(x,y,z)$ at $P$ . (b) Find the directional derivative of $w = f(x,y,z)$ at $P$ in the direction of the vector $\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}}$

정답·풀이 보기

(a) ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 로 $f$ 의 점 $P$ 에서의 기울기 벡터를 나타내자. 주어진 조건은 다음과 같다.

$f$ 의 점 $P$ 에서의 방향미분계수가 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 의 방향으로 최대이므로, ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ 는 $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ 와 평행하다.
그 방향으로의 방향미분계수의 크기가 $3\sqrt{6}$ 이므로, $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

이다.

(b) $f$ 의 점 $P$ 에서 $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 방향으로의 방향미분계수는

${ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Use ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ to denote the gradient vector of $f$ at $P$ . We are told that

directional derivative of $f$ at $P$ is a maximum in the direction $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , which implies that ${ \boldsymbol{\nabla} } f(P)$ is parallel to $2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}$ , and
the magnitude of the directional derivative in that direction is $3\sqrt{6}$ , which implies that $|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6}$ .

(b) The directional derivative of $f$ at $P$ in the direction $\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 6번우리말 번역

당신은 지표면이 매끄러운 곳에 서 있습니다. 남쪽 방향의 기울기는 $4$ 이고 남동쪽 방향의 기울기는 $\sqrt{2}$ 입니다. 동쪽 방향의 기울기를 구하세요.

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양의 $y$ 축이 북쪽, 양의 $x$ 축이 동쪽을 향하고 현재 위치가 $x=y=0$ 인 좌표계를 사용한다. $(x,y)$ 에서 지표면의 고도를 $z(x,y)$ 라 하자. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot(-\hat{\boldsymbol{\jmath}}) &= 4 \\ { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}\right) &= \sqrt{2} \end{aligned}$

이다. 첫째 식에서 $z_y(0,0)=-4$ 이고 둘째 식에서

$\begin{aligned} \frac{z_x(0,0)-z_y(0,0)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \implies z_x(0,0)=z_y(0,0)+2 = -2 \end{aligned}$

이다. 따라서 동쪽 방향의 기울기는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } z(0,0)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}} = z_x(0,0) = -2 \end{aligned}$

이다.

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