방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 8번

CLP-3 · 2.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

한 등산객이 산을 걷고 있으며, $z = 0$ 평면으로부터 산의 높이는 다음과 같이 주어진다.

$z = f(x,y) = 6 - xy^2$

양의 $x$ 축은 동쪽을, 양의 $y$ 축은 북쪽을 가리키고, 등산객은 점 $P(2, 1, 4)$ 에서 출발한다.

(a) 가장 가파른 길을 따라 올라가려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 나아가야 하는지 구하세요. 그 길의 기울기는 얼마인지 구하세요. (b) $P$ 에서 북쪽으로 걸으면 등산객은 오르기 시작하는지 내려가기 시작하는지 판단하세요. 기울기는 얼마인지 구하세요. (c) 같은 높이를 유지하려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A hiker is walking on a mountain with height above the $z = 0$ plane given by

$z = f(x,y) = 6 - xy^2$

The positive $x$ –axis points east and the positive $y$ –axis points north, and the hiker starts from the point $P(2, 1, 4)$ .

(a) In what direction should the hiker proceed from $P$ to ascend along the steepest path? What is the slope of the path? (b) Walking north from $P$ , will the hiker start to ascend or descend? What is the slope? (c) In what direction should the hiker walk from $P$ to remain at the same height?

정답·풀이 보기

(a) $(x,y)=(2,1)$ 에서 $f$ 의 그래디언트는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1) = \left< -y^2\,,\,-2xy \right>\Big|_{(x,y)=(2,1)} = \left< -1\,,\, -4\right> \end{aligned}$

이므로 가장 가파르게 올라가는 길의 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1\,,\, 4\right>$ 이며, 이는 남쪽에서 약간 서쪽으로 치우친 방향이다. 기울기는

$|{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)| = |\left< -1\,,\, -4\right>| = \sqrt{17}$

이다.

(b) 북쪽 방향의 방향미분계수는

$D_{\left< 0,1\right>}f(2,1) = { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)\cdot\left< 0,1\right> = \left< -1\,,\, -4\right> \cdot \left< 0,1\right> = -4$

이므로 등산객은 기울기 $|-4|=4$ 로 내려간다.

(c) 등고선을 따라 걷는, 즉 같은 높이를 유지하려면 등산객은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)= \left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. $\left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 두 단위벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4, -1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The gradient of $f$ at $(x,y)=(2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1) = \left< -y^2\,,\,-2xy \right>\Big|_{(x,y)=(2,1)} = \left< -1\,,\, -4\right> \end{aligned}$

So the path of steepest ascent is in the direction $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1\,,\, 4\right>$ , which is a little west of south. The slope is

$|{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)| = |\left< -1\,,\, -4\right>| = \sqrt{17}$

(b) The directional derivative in the north direction is

$D_{\left< 0,1\right>}f(2,1) = { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)\cdot\left< 0,1\right> = \left< -1\,,\, -4\right> \cdot \left< 0,1\right> = -4$

So the hiker descends with slope $|-4|=4$ .

(c) To contour, i.e. remain at the same height, the hiker should walk in a direction perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)= \left< -1\,,\, -4\right>$ . Two unit vectors perpendicular to $\left< -1\,,\, -4\right>$ are $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4, -1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 10번우리말 번역

모기 한 마리가 $\mathbb{R}^3$ 의 점 $(3, 2, 1)$ 에 있다. 모기는 그 근처의 온도 $T$ 가 $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ 으로 주어진다는 것을 알고 있다.

(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 $0$ 이 되는 방향을 하나 구하세요. (b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요. (c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $(3,2,1)$ 에서의 온도의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

이다.

모기는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ 에 수직인 방향으로 날아가야 한다. 즉, 다음을 만족하는 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 날아가야 한다.

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

$12a+4b-2c=0$ 을 만족하는 0이 아닌 임의의 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는 $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ 와 $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ 이다.

(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류