방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 10번

CLP-3 · 2.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

모기 한 마리가 $\mathbb{R}^3$ 의 점 $(3, 2, 1)$ 에 있다. 모기는 그 근처의 온도 $T$ 가 $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ 으로 주어진다는 것을 알고 있다.

(a) 모기는 같은 온도를 유지하고 싶지만, 어떤 처음 방향으로든 날아가야 한다. 온도의 처음 변화율이 $0$ 이 되는 방향을 하나 구하세요. (b) 여러분과 다른 학생이 (a)에서 모두 옳은 답을 구했다면, 두 사람이 제시한 방향은 반드시 같아야 하나요? 그 이유를 설명하세요. (c) 모기가 가능한 한 빨리 시원해지고 싶다면, 어떤 처음 방향 또는 방향들이 알맞은지 구하세요.

영어 원문 보기

A mosquito is at the location $(3, 2, 1)$ in $\mathbb{R}^3$ . She knows that the temperature $T$ near there is given by $T = 2x^2 + y^2 - z^2$ .

(a) She wishes to stay at the same temperature, but must fly in some initial direction. Find a direction in which the initial rate of change of the temperature is $0$ . (b) If you and another student both get correct answers in part (a), must the directions you give be the same? Why or why not? (c) What initial direction or directions would suit the mosquito if she wanted to cool down as fast as possible?

정답·풀이 보기

(a) $(3,2,1)$ 에서의 온도의 기울기벡터는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

이다.

모기는 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ 에 수직인 방향으로 날아가야 한다. 즉, 다음을 만족하는 방향 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 로 날아가야 한다.

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

$12a+4b-2c=0$ 을 만족하는 0이 아닌 임의의 $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ 는 허용되는 방향이다. 허용되는 단위벡터 네 개는 $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ 와 $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ 이다.

(b) 아니요, 같을 필요는 없다. (a)에서 서로 다른 네 개의 구체적인 방향이 주어졌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The temperature gradient at $(3,2,1)$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1) = \left< 4x\,,\,2y\,,\,-2z\right>\Big|_{(x,y,z)=(3,2,1)} = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right> \end{aligned}$

She wishes to fly in a direction that is perpendicular to ${ \boldsymbol{\nabla} } T(3,2,1)$ . That is, she wishes to fly in a direction $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys

$0 = \left< 12\,,\,4\,,\,-2\right>\cdot \left< a\,,\,b\,,\,c\right> = 12a+4b-2c$

Any nonzero $\left< a\,,\,b\,,\,c\right>$ that obeys $12a+4b-2c=0$ is an allowed direction. Four allowed unit vectors are $\pm\frac{\left< 0\,,\,1\,,\,2\right>}{\sqrt{5}}$ and $\pm\frac{\left< 1\,,\,-3\,,\,0\right>}{\sqrt{10}}$ .

(b) No they need not be the same. Four different explicit directions were given in part (a).

(c) To cool down as quickly as possible, she should move in the direction opposite to the temperature gradient. A unit vector in that direction is $-\frac{\left< 6\,,\,2\,,\,-1\right>}{\sqrt{41}}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 11번우리말 번역

위치 $(x,y,z)$ 에서의 기온 $T(x,y,z)$ 는 다음과 같이 주어진다.

$T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz.$

(a) 새 한 마리가 $(2,1,3)$ 을 지나 $(4,3,4)$ 를 향해 속력 $2$ 로 날아가고 있다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율을 구하세요. (b) 만약 새가 $(2,1,3)$ 을 지날 때 고도를 일정하게( $z = 3$ ) 유지하면서 동시에 기온도 $T = 8$ 로 일정하게 유지한다면, 새가 진행할 수 있는 두 방향은 무엇인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$(2,1,3)$ 에서의 기온의 기울기 벡터(그레이디언트)는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) = \left< 2x\,,\,z\,,\,y \right>\Big|_{(x,y,z)=(2,1,3)} = \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \end{aligned}$

이다.

(a) 새는 방향 $\left< 4-2\,,\,3-1\,,\,4-3 \right> =\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 으로 속력 $2$ 로 날아가므로 속도는 $\mathbf{v}=2\frac{\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>}{|\left< 2\,,\,2\,,\,1\right>|} =\frac{2}{3} \left< 2\,,\,2\,,\,1\right>$ 이다. 이 순간 새가 느끼는 기온의 변화율은

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3) \cdot\mathbf{v} =\frac{2}{3} \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> \cdot \left< 2\,,\,2\,,\,1\right> = 10 \end{aligned}$

이다.

(b) 고도를 일정하게 유지하려면(정지해 있지 않은 상태에서) 새의 진행 방향은 어떤 상수 $a$ , $b$ (둘 다 0은 아님)에 대해 $\left< a\,,\,b\,,\,0\right>$ 꼴이어야 한다. 기온을 일정하게 유지하려면 진행 방향이 ${ \boldsymbol{\nabla} } T(2,1,3)= \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right>$ 에 수직이어야 한다. 따라서 $a$ , $b$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} 0 = \left< a\,,\,b\,,\,0\right> \cdot \left< 4\,,\,3\,,\,1 \right> = 4a+3b \iff b=-\frac{4}{3}a \end{aligned}$

그러므로 진행 방향은 $\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 에 0이 아닌 상수를 곱한 꼴이어야 한다. 이러한 단위벡터는 $\pm \frac{1}{5}\left< 3\,,-4\,,0\right>$ 두 개이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터개념 확인보통자동 분류