방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 9번

CLP-3 · 2.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

두 등산객이 높이가 $\ z=1000-2x^2-3y^2$ 인 (작은) 산을 오르고 있다. 이들은 $\ (1,1,995)\$ 에서 출발하여 가장 가파른 오르막 경로를 따라간다. 이들의 $(x,y)$ 좌표는 어떤 상수 $a, b$ 에 대해 $\ y=ax^b\$ 를 만족한다. $a$ 와 $b$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Two hikers are climbing a (small) mountain whose height is $\ z=1000-2x^2-3y^2.$ They start at $\ (1,1,995)\$ and follow the path of steepest ascent. Their $(x,y)$ coordinates obey $\ y=ax^b\$ for some constants $a, b$ . Determine $a$ and $b$ .

정답·풀이 보기

$h(x,y)=1000-2x^2-3y^2$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)=(-4x,-6y)$ 이다. 이 기울기벡터(가장 가파르게 오르는 방향을 가리킨다)는 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 $y=ax^b$ 의 접선과 평행해야 한다. $y=ax^b$ 의 접선은 $\left< 1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right> =\left< 1, abx^{b-1}\right>$ 이다.

$\left< -4x,-6y\right> \parallel \left< 1, abx^{b-1}\right> \implies \frac{abx^{b-1}}{1}=\frac{-6y}{-4x} \implies \frac{3}{2}y=abx^b$

이것이 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 성립하는 것은 $b=\frac{3}{2}$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. $(1,1)$ 도 $y=ax^b$ 위에 있어야 하므로 $1=a1^b$ 이어야 하고, 따라서 $a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ 이다. 다음은 등산로를 나타낸 등고선 지도이다.

원본 교재 풀이(영어)

The gradient of $h(x,y)=1000-2x^2-3y^2$ is ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)=(-4x,-6y)$ . This gradient (which points in the direction of steepest ascent) must be parallel to the tangent to $y=ax^b$ at all points on $y=ax^b$ . A tangent to $y=ax^b$ is $\left< 1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right> =\left< 1, abx^{b-1}\right>$ .

$\left< -4x,-6y\right> \parallel \left< 1, abx^{b-1}\right> \implies \frac{abx^{b-1}}{1}=\frac{-6y}{-4x} \implies \frac{3}{2}y=abx^b$

This is true at all points on $y=ax^b$ if and only if $b=\frac{3}{2}$ . As $(1,1)$ must also be on $y=ax^b$ , we need $1=a1^b$ , which forces $a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ . Here is a contour map showing the hiking trail.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 8번우리말 번역

한 등산객이 산을 걷고 있으며, $z = 0$ 평면으로부터 산의 높이는 다음과 같이 주어진다.

$z = f(x,y) = 6 - xy^2$

양의 $x$ 축은 동쪽을, 양의 $y$ 축은 북쪽을 가리키고, 등산객은 점 $P(2, 1, 4)$ 에서 출발한다.

(a) 가장 가파른 길을 따라 올라가려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 나아가야 하는지 구하세요. 그 길의 기울기는 얼마인지 구하세요. (b) $P$ 에서 북쪽으로 걸으면 등산객은 오르기 시작하는지 내려가기 시작하는지 판단하세요. 기울기는 얼마인지 구하세요. (c) 같은 높이를 유지하려면 등산객은 $P$ 에서 어느 방향으로 걸어야 하는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) $(x,y)=(2,1)$ 에서 $f$ 의 그래디언트는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1) = \left< -y^2\,,\,-2xy \right>\Big|_{(x,y)=(2,1)} = \left< -1\,,\, -4\right> \end{aligned}$

이므로 가장 가파르게 올라가는 길의 방향은 $-\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 1\,,\, 4\right>$ 이며, 이는 남쪽에서 약간 서쪽으로 치우친 방향이다. 기울기는

$|{ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)| = |\left< -1\,,\, -4\right>| = \sqrt{17}$

이다.

(b) 북쪽 방향의 방향미분계수는

$D_{\left< 0,1\right>}f(2,1) = { \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)\cdot\left< 0,1\right> = \left< -1\,,\, -4\right> \cdot \left< 0,1\right> = -4$

이므로 등산객은 기울기 $|-4|=4$ 로 내려간다.

(c) 등고선을 따라 걷는, 즉 같은 높이를 유지하려면 등산객은 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(2,1)= \left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 방향으로 걸어야 한다. $\left< -1\,,\, -4\right>$ 에 수직인 두 단위벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{17}}\left< 4, -1\right>$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

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