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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

점 (x,y,z)(x, y, z) 에서의 온도가 다음과 같이 주어져 있다. T(x,y,z)=5e−2x2−y2−3z2T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}, 여기서 TT 는 섭씨 온도로, xx, yy, zz 는 미터 단위로 측정한다.

(a) 점 P(1,2,−1)P(1, 2, -1) 에서 점 (1,1,0)(1, 1, 0) 을 향하는 방향으로의 온도의 변화율을 구하세요. (b) 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 어느 방향인지 구하세요. (c) PP 에서 온도의 최대 감소율을 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature at a point (x,y,z)(x, y, z) is given by T(x,y,z)=5e−2x2−y2−3z2T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}, where TT is measured in centigrade and xx, yy, zz in meters.

(a) Find the rate of change of temperature at the point P(1,2,−1)P(1, 2, -1) in the direction toward the point (1,1,0)(1, 1, 0). (b) In which direction does the temperature decrease most rapidly? (c) Find the maximum rate of decrease at PP.

정답·풀이 보기

(a) (1,2,−1)(1, 2, -1) 에서 방향 <1,1,0>−<1,2,−1>=<0,−1,1>\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right> 으로의 T(x,y,z)T(x,y,z) 의 변화율을 구하는 것이다. 이 변화율(단위 거리당)은 방향미분계수

D<0,−1,1>2T(1,2,−1)=∇T(1,2,−1)⋅<0,−1,1>2\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}

이다.

∂T∂x(x,y,z)=−20x e−2x2−y2−3z2∂T∂x(1,2,−1)=−20 e−9∂T∂y(x,y,z)=−10y e−2x2−y2−3z2∂T∂y(1,2,−1)=−20 e−9∂T∂z(x,y,z)=−30z e−2x2−y2−3z2∂T∂z(1,2,−1)=30 e−9\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}

이므로 방향미분계수는

D<0,−1,1>2T(1,2,−1)=e−9<−20,−20,30>⋅<0,−1,1>2=502e−9=25 2 e−9\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}

이다.

(b) 최대 감소율의 방향은 −∇T(1,2,−1)-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1) 이다. 이 방향의 단위벡터는 <2,2,−3>17\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}} 이다.

(c) PP 에서의 최대 감소율은 −∣∇T(1,2,−1)∣=−10e−9∣<−2,−2,3>∣=−1017e−9-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are to find the rate of change of T(x,y,z)T(x,y,z) at (1,2,−1)(1, 2, -1) in the direction <1,1,0>−<1,2,−1>=<0,−1,1>\left< 1, 1, 0\right> - \left< 1, 2, -1\right> = \left< 0,-1,1 \right>. That rate of change (per unit distance) is the directional derivative

D<0,−1,1>2T(1,2,−1)=∇T(1,2,−1)⋅<0,−1,1>2\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) ={ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} \end{aligned}

As

∂T∂x(x,y,z)=−20x e−2x2−y2−3z2∂T∂x(1,2,−1)=−20 e−9∂T∂y(x,y,z)=−10y e−2x2−y2−3z2∂T∂y(1,2,−1)=−20 e−9∂T∂z(x,y,z)=−30z e−2x2−y2−3z2∂T∂z(1,2,−1)=30 e−9\begin{aligned} \frac{\partial T}{\partial x}(x,y,z)&= -20 x\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial x}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial y}(x,y,z)&= -10 y\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial y}(1,2,-1)&= -20\, e^{-9} \\ \frac{\partial T}{\partial z}(x,y,z)&= -30 z\,e^{-2x^2-y^2-3z^2} & \frac{\partial T}{\partial z}(1,2,-1)&= 30\, e^{-9} \end{aligned}

the directional derivative

D<0,−1,1>2T(1,2,−1)=e−9<−20,−20,30>⋅<0,−1,1>2=502e−9=25 2 e−9\begin{aligned} D_{\frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}}} T(1,2,-1) =e^{-9}\left< -20,-20,30\right>\cdot \frac{\left< 0,-1,1 \right>}{\sqrt{2}} =\frac{50}{\sqrt{2}}e^{-9} =25\,\sqrt{2}\,e^{-9} \end{aligned}

(b) The direction of maximum rate of decrease is −∇T(1,2,−1)-{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1). A unit vector in that direction is <2,2,−3>17\frac{\left< 2,2,-3\right>}{\sqrt{17}}.

(c) The maximum rate of decrease at PP is −∣∇T(1,2,−1)∣=−10e−9∣<−2,−2,3>∣=−1017e−9-|{ \boldsymbol{\nabla} } T(1,2,-1)|=-10 e^{-9} |\left< -2,-2,3\right>| = -10\sqrt{17} e^{-9}.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 7번우리말 번역

w=f(x,y,z)w = f(x,y,z) 의 점 PP 에서의 방향미분계수가 벡터 2ı^−ȷ^+k^2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} 의 방향으로 최대이고, 그 방향으로의 방향미분계수의 값이 363\sqrt{6} 이라고 가정하자.

(a) w=f(x,y,z)w = f(x,y,z) 의 점 PP 에서의 기울기 벡터를 구하세요. (b) w=f(x,y,z)w = f(x,y,z) 의 점 PP 에서 벡터 ı^+ȷ^\hat{\boldsymbol{\imath}} + \hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 방향으로의 방향미분계수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) ∇f(P){ \boldsymbol{\nabla} } f(P) 로 ff 의 점 PP 에서의 기울기 벡터를 나타내자. 주어진 조건은 다음과 같다.

  • ff 의 점 PP 에서의 방향미분계수가 2ı^−ȷ^+k^2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} 의 방향으로 최대이므로, ∇f(P){ \boldsymbol{\nabla} } f(P) 는 2ı^−ȷ^+k^2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} 와 평행하다.
  • 그 방향으로의 방향미분계수의 크기가 363\sqrt{6} 이므로, ∣∇f(P)∣=36|{ \boldsymbol{\nabla} } f(P)|=3\sqrt{6} 이다.

따라서

∇f(P)=362ı^−ȷ^+k^∣2ı^−ȷ^+k^∣=6ı^−3ȷ^+3k^\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } f(P) = 3\sqrt{6} \frac{2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}}{|2\hat{\boldsymbol{\imath}} - \hat{\boldsymbol{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}|} = 6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

(b) ff 의 점 PP 에서 ı^+ȷ^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} 방향으로의 방향미분계수는

∇f(P)⋅ı^+ȷ^∣ı^+ȷ^∣=12(6ı^−3ȷ^+3k^)⋅(ı^+ȷ^)=32{ \boldsymbol{\nabla} } f(P) \cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{|\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}|} =\frac{1}{\sqrt{2}}\big(6\hat{\boldsymbol{\imath}} - 3\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 3\hat{\mathbf{k}}\big)\cdot\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big) =\frac{3}{\sqrt{2}}

이다.

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