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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

방향도함수와 기울기벡터

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-3 · 2.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

함수 w=f(x,y,z)w = f(x, y, z) 의 점 PP 에서의 방향미분계수는 벡터 ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} 의 방향으로 2, 벡터 ı^+ȷ^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 방향으로 −2-\sqrt{2}, 벡터 ı^+ȷ^+k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} 의 방향으로 −53-\frac{5}{\sqrt{3}} 이다. 함수 w=f(x,y,z)w = f(x, y, z) 의 점 PP 에서 변화율이 최대가 되는 방향을 구하세요. 이때 최대 변화율은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

The directional derivative of a function w=f(x,y,z)w = f(x, y, z) at a point PP in the direction of the vector ı^\hat{\boldsymbol{\imath}} is 2, in the direction of the vector ı^+ȷ^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}} is −2-\sqrt{2}, and in the direction of the vector ı^+ȷ^+k^\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}} is −53-\frac{5}{\sqrt{3}}. Find the direction in which the function w=f(x,y,z)w = f(x, y, z) has the maximum rate of change at the point PP . What is this maximum rate of change?

정답·풀이 보기

함수 ff 의 PP 에서의 그레이디언트를 <a , b , c>\left< a\,,\,b\,,\,c\right> 라 하자. 주어진 조건은 다음과 같다.

<a , b , c>⋅<1 , 0 , 0>=2<a , b , c>⋅12<1 , 1 , 0>=−2<a , b , c>⋅13<1 , 1 , 1>=−53\begin{aligned} \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \left< 1\,,\,0\,,\,0\right> &= 2 \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1\,,\,1\,,\,0\right> &= -\sqrt{2} \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1\,,\,1\,,\,1\right> &= -\frac{5}{\sqrt{3}} \end{aligned}

간단히 하면

a=2a+b=−2a+b+c=−5\begin{aligned} a&=2 \\ a+b&=-2 \\ a+b+c&=-5 \end{aligned}

이 식들로부터 차례로 a=2a=2, b=−4b=-4, c=−3c=-3 을 얻는다. 함수 ff 는 PP 에서 ff 의 그레이디언트 방향으로 변화율이 최대이다. 그 방향의 단위벡터는

<2 , −4 , −3>∣<2 , −4 , −3>∣=<2 , −4 , −3>29\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{|\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>|} =\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{\sqrt{29}}

이다.

최대 변화율은 그레이디언트의 크기이므로 29\sqrt{29} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by <a , b , c>\left< a\,,\,b\,,\,c\right> the gradient of the function ff at PP. We are told

<a , b , c>⋅<1 , 0 , 0>=2<a , b , c>⋅12<1 , 1 , 0>=−2<a , b , c>⋅13<1 , 1 , 1>=−53\begin{aligned} \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \left< 1\,,\,0\,,\,0\right> &= 2 \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left< 1\,,\,1\,,\,0\right> &= -\sqrt{2} \\ \left< a\,,\,b\,,\,c\right> \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1\,,\,1\,,\,1\right> &= -\frac{5}{\sqrt{3}} \end{aligned}

Simplifying

a=2a+b=−2a+b+c=−5\begin{aligned} a&=2 \\ a+b&=-2 \\ a+b+c&=-5 \end{aligned}

From these equations we read off, in order, a=2a=2, b=−4b=-4 and c=−3c=-3. The function ff has maximum rate of change at PP in the direction if the gradient of ff. The unit vector in that direction is

<2 , −4 , −3>∣<2 , −4 , −3>∣=<2 , −4 , −3>29\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{|\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>|} =\frac{\left< 2\,,\,-4\,,\,-3\right>}{\sqrt{29}}

The maximum rate of change is the magnitude of the gradient, which is 29\sqrt{29}.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.6절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절하게 uu 또는 vv 의 방향으로 점 PP 에서 주어진 함수의 방향미분계수를 구하세요.

f(x,y)=excos⁡ y,u=⟨0,1⟩,P=(0,π2)\begin{array}{ccc}f(x,y)={e}^{x}\cos \,y, & u=\langle 0,1\rangle , & P=\left(0,\frac{\pi }{2}\right)\end{array}

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