방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — CLP-3 · 2.7절 · 19번

CLP-3 · 2.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x,y)$ 가 원점에서 가장 빠르게 증가하는 방향이 벡터 $\left< 1, 2\right>$ 로 주어진다고 하자. 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 접하는 단위벡터 $u$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose it is known that the direction of the fastest increase of the function $f(x,y)$ at the origin is given by the vector $\left< 1, 2\right>$ . Find a unit vector $u$ that is tangent to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin.

정답·풀이 보기

함수 $f(x,y)$ 가 원점에서 가장 빠르게 증가하는 방향이 벡터 $\left< 1, 2\right>$ 로 주어졌다. 이는 ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,0)$ 이 $\left< 1, 2\right>$ 와 평행함을 뜻한다. 따라서 $\left< 1, 2\right>$ 는 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 수직이다(법선벡터이다). 그러므로 $\left< 1, 2\right>$ 와 수직인 $\left< 2, -1\right>$ 은 원점을 지나는 $f(x,y)$ 의 등위곡선에 접한다. $\left< 2, -1\right>$ 과 평행한 단위벡터는 $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\left< 2, -1\right>$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that the direction of fastest increase for the function $f(x,y)$ at the origin is given by the vector $\left< 1, 2\right>$ . This implies that ${ \boldsymbol{\nabla} } f(0,0)$ is parallel to $\left< 1, 2\right>$ . This in turn implies that $\left< 1, 2\right>$ is normal to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin. So $\left< 2, -1\right>$ , being perpendicular to $\left< 1, 2\right>$ , is tangent to the level curve of $f(x,y)$ that passes through the origin. The unit vectors that are parallel to $\left< 2, -1\right>$ are $\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\left< 2, -1\right>$ .

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 3권 · 4.6절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절하게 $u$ 또는 $v$ 의 방향으로 점 $P$ 에서 주어진 함수의 방향미분계수를 구하세요.

$f(x,y)=\ln ({x}^{2}+{y}^{2}),\begin{array}{cc}u=\langle \frac{3}{5},\frac{4}{5}\rangle , & P(1,2)\end{array}$

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$\frac{22}{25}$

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# 방향도함수와 기울기벡터계산보통자동 분류