방향도함수와 기울기벡터 연습문제 — OpenStax 3권 · 4.6절 · 12번

OpenStax 3권 · 4.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 적절하게 $u$ 또는 $v$ 의 방향으로 점 $P$ 에서 주어진 함수의 방향미분계수를 구하세요.

$f(x,y)=\ln ({x}^{2}+{y}^{2}),\begin{array}{cc}u=\langle \frac{3}{5},\frac{4}{5}\rangle , & P(1,2)\end{array}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the directional derivative of the function at point $P$ in the direction of $u$ or $v$ as appropriate.

$f(x,y)=\ln ({x}^{2}+{y}^{2}),\begin{array}{cc}u=\langle \frac{3}{5},\frac{4}{5}\rangle , & P(1,2)\end{array}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{22}{25}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{22}{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-3 · 2.7절 · 9번우리말 번역

두 등산객이 높이가 $\ z=1000-2x^2-3y^2$ 인 (작은) 산을 오르고 있다. 이들은 $\ (1,1,995)\$ 에서 출발하여 가장 가파른 오르막 경로를 따라간다. 이들의 $(x,y)$ 좌표는 어떤 상수 $a, b$ 에 대해 $\ y=ax^b\$ 를 만족한다. $a$ 와 $b$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$h(x,y)=1000-2x^2-3y^2$ 의 기울기벡터는 ${ \boldsymbol{\nabla} } h(x,y)=(-4x,-6y)$ 이다. 이 기울기벡터(가장 가파르게 오르는 방향을 가리킨다)는 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 $y=ax^b$ 의 접선과 평행해야 한다. $y=ax^b$ 의 접선은 $\left< 1,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right> =\left< 1, abx^{b-1}\right>$ 이다.

$\left< -4x,-6y\right> \parallel \left< 1, abx^{b-1}\right> \implies \frac{abx^{b-1}}{1}=\frac{-6y}{-4x} \implies \frac{3}{2}y=abx^b$

이것이 $y=ax^b$ 위의 모든 점에서 성립하는 것은 $b=\frac{3}{2}$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. $(1,1)$ 도 $y=ax^b$ 위에 있어야 하므로 $1=a1^b$ 이어야 하고, 따라서 $a=1$ , $b=\frac{3}{2}$ 이다. 다음은 등산로를 나타낸 등고선 지도이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 방향도함수와 기울기벡터계산자동 분류